4.2e3

例3

设a>0，n是正整数。证明：方程\(x^n=a\)有唯一的正数解。

证明

当\(x\to+\infty\)时，有\(x^n\to+\infty\)，故必存在正数b，使得当\(x=b\)时，\(f(b)=b^n>a\).而当\(x=0\)时，有\(f(0)=0^n=0\)，故有\(f(0)<a<f(b)\)，由于\(f(x)\)在区间\([0,b]\)上是连续函数，根据介值性定理，在区间\((0,b)\)上必存在一个点\(x_0\)，使得\(f(x_0)=a\)，这就证明了存在性，再证唯一性。
设存在一点\(x_1>0\)，使得\(x_1^n=a\)，故有\(x_0^n-x_1^n=0\)，即

\[x_0^n-x_1^n=(x_0-x_1)(x_0^{n-1}+x_0^{n-2}x_1+x_0^{n-3}x_1^2+\dots+x_1^{n-1}) \]

由于右边的项大于零，故只有左边的等于零，即

\[x_0-x_1=0\\ x_0=x_1 \]

即证正根\(x_0\)的唯一性。