介值性定理的证明

介值性定理：

设函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，且\(f(a)\neq f(b)\)，若\(\mu\)为\(f(a)\)与\(f(b)\)之间的任何实数\((f(a)<\mu<f(b)或f(a)>\mu>f(b))\)，则至少存在一点\(x_0\in(a,b)\)，使得\(f(x_0)=\mu.\)

推论（根的存在定理）：

若函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，且\(f(a)\)与\(f(b)\)异号，\(即(f(a)f(b)<0)\)，则至少存在一点\(x_0\in(a,b)\)，使得\(f(x_0)=0\)，即方程\(f(x)=0\)有\((a,b)\)上至少有一个根。

证明：

考虑\((f(a)<f(b)\)的情形，令\(g(x)=f(x)-\mu\)，则\(g(a)=f(a)-\mu<0\)，\(g(b)=f(b)-\mu>0\)，对介值的定理的证明转化为对推论的证明。
考虑这样一个集合

\[\ E=\{x|g(x)<0,x\in[a,b]\} \]

由于\(E\subset[a,b]\)，所以集合\(E\)是存在上界，根据确界准则，集合\(E\)必有上确界，设为\(x_0\)。
\(b\)是集合\(E\)的上界，且\(g(b)>0\)，根据函数的保不等式性可知，\(\exists\delta_1>0\)，使得当\(x\in(b-\delta_1,b)\)时，有\(g(x)>0\)，这就证明了\(b\)不是集合\(E\)的上确界，从而得知\(b>x_0\)。
\(a\in E\)且\(g(a)<0\)，根据函数的保不等式性可知，\(\exists\delta_2>0\)，使得\(g(a+\delta_2)<0\)，故\((a+\delta_2)\in E\)，而\(a<(a+\delta_2)\)，所以\(a\)不是集合\(E\)的上确界，所以\(a<x_0\)。
综上可得

\[a<x_0<b \]

下面证明\(g(x_0)=0\)，用使用反证法：
假设\(g(x_0)>0\)，根据函数的保不等式性可知，\(\exists\delta_3>0\)，使得当\(x\in(x_0-\delta_3,x_0)\)时，有\(g(x)>0\)，这与\(x_0\)是上确界的前提相矛盾，故\(g(x_0)>0\)不成立。
假设\(g(x_0)<0\)，根据函数的保不等式性可知，\(\exists\delta_4>0\)，使得当\(x\in(x_0,x_0+\delta_4]\)时，有\(g(x)<0\)，显然\((x_0+\delta_4)\in E\)且\((x_0+\delta_4)>x_0\)，这与这与\(x_0\)是上确界的前提相矛盾，故\(g(x_0)<0\)也不成立。
故得\(g(x_0)=0\)，从而得出\(f(x_0)=\mu\)
得证