海盗分金问题全解

“五个海盗，100 枚金币，怎么分才能让自己活下来，还拿到最多的钱？”

作为最流行的博弈论题目之一，这道题存在多种规则：

1. 投票门槛怎么定：过半就行，还是必须严格多数？
2. 海盗的偏好顺序是什么：先保命，再要钱，最后是喜欢杀人，还是讨厌死人？

经典版：半数及以上通过

这是流传最广的版本，也是大家最熟悉的 98, 0, 1, 0, 1。

规则

• 只要赞成票达到 一半及以上，方案就通过
• 海盗都绝顶理性
• 偏好顺序是：
  1. 先活下来
  2. 再多拿金币
  3. 如果生死和金币都一样，更愿意看到别人死

倒着推

1 人：只剩 E。E 独吞 100。

2 人：D、E。D 只要自己投赞成就够了，因为“半数及以上”意味着 2 人局里 1 票就过。 所以：D=100，E=0

3 人：C、D、E。如果 C 死了，下一轮是 D、E，而 D 会拿 100，E 拿 0。所以 C 只要给 E 1 枚，E 就会支持他。

所以 C=99，D=0，E=1

4 人：B、C、D、E。如果 B 死了，下一轮结果是：C=99，D=0，E=1。4 人局只要 2 票就能过，B 只需要自己再拉 1 票。谁最便宜？当然是 D，因为他下一轮只能拿 0。

所以：B=99，C=0，D=1，E=0

5 人：A、B、C、D、E。如果 A 死了，下一轮结果是：B=99，C=0，D=1，E=0。5 人局要 3 票。A 自己算 1 票，还需要 2 票。最便宜的是谁？C 和 E，因为他们下一轮都只能拿 0。所以 A 只要各给他们 1 枚

答案

A=98，B=0，C=1，D=0，E=1

严格多数版：必须超过半数

这个版本常常被忽略，但它会把答案从 98 改成 97。

规则

把“半数及以上通过”改成：

必须超过半数。

于是：

• 2 人局需要 2 票
• 4 人局需要 3 票
• 5 人局仍需要 3 票

倒着推

1 人：只剩 E。不变。

2 人：D、E。D 需要 2 票，但 E 一定反对，因为 D 一死，E 就独吞 100。所以 D 必死，无论提出什么方案。

3 人：C、D、E。如果 C 死了，会进入 2 人局，而 D 会死，E 独吞 100。所以 D 为了活命，会支持 C，哪怕 0 枚也行。

结果：C=100，D=0，E=0

4 人：B、C、D、E。如果 B 死了，下一轮是：C=100，D=0，E=0。4 人局需要 3 票。B 自己只有 1 票，还得再买 2 票。最便宜的是 D 和 E，各给 1 枚即可。

结果：B=98，C=0，D=1，E=1

5 人：A、B、C、D、E。如果 A 死了，下一轮是：B=98，C=0，D=1，E=1。A 需要再买 2 票。C 给 1 枚就够。而 D 或 E至少有一个人得给 2 枚才会改投

于是 A 的最优方案是：

答案

A=97，B=0，C=1，D=2，E=0 或
A=97，B=0，C=1，D=0，E=2

温和版：海盗不想多死人

前两个版本默认海盗有点“残忍”：
如果我活着、拿的钱也一样，那我宁可看你死。

但如果最后一条改成：

保命 > 金币 > 少死人

也就是：如果结果对我一样，我更愿意让人活着。这个改动非常致命。

在这个场景下，答案不唯一，且给其他所有人 0 个金币就是其中一种方案。提案者往往能独吞 100。

原因很简单：如果某个海盗在“我投反对”和“我投赞成”两种情况下：

• 都能活
• 都拿 0

那他就会因为“不想多死人”而投赞成。这意味着提案者可以用 0 成本买票。

答案

• 在“半数及以上”版本里，A 可以直接提：100, 0, 0, 0, 0
• 在“严格多数”版本里，除了 2 人局无解外，从 3 人开始，首提者也常常能靠“0 成本拉票”独吞

金币可无限切分版

如果金币不是整数，而是能分成任意小，比如 0.000001 枚，那收买成本会进一步下降。

以经典版（半数及以上通过）为例，A 原本需要买 C 和 E 两票，各给 1 枚。但如果能无限细分，A 其实只需要给他们“比下一轮多一点点”就够了。

设这个“一点点”为 ε，那么：A = 100 - 2ε，B = 0，C = ε，D = 0，E = ε。A 几乎可以拿走全部金币。

如果海盗人数不断增加

在经典版里：

• 有 \(n\) 个海盗
• 有 \(G\) 枚金币
• 规则是“半数及以上通过”
• 偏好顺序是“保命 > 金币 > 杀人”

规律和通解

首领不需要说服所有人，只需要说服刚好够用的人。而最便宜的票，永远来自那些在“下一轮”里本来只能拿到 0 的海盗。所以，最优测率：只买下一轮最惨的那几个人，而且每人只多给 1 枚。

把海盗按资历从高到低记作 \(1,2,3,\dots,n\)。

当金币足够时，经典版的最优分配会呈现出这样的形状：

\[x_1 = G-(\lceil n/2\rceil-1) \]

而其余海盗中：

• 第 3 个拿 1 枚
• 第 5 个拿 1 枚
• 第 7 个拿 1 枚
• ……

其余人都是 0。例如

• 5 人：\(98,0,1,0,1\)
• 6 人：\(98,0,1,0,1,0\)
• 7 人：\(97,0,1,0,1,0,1\)
• 8 人：\(97,0,1,0,1,0,1,0\)

每增加 2 个海盗，首领就少拿 1 枚金币。这就是经典版最核心的“人数增长规律”。

在海盗不太多时，首领收益按线性下降

由上式可见，首领最终能保住的金币数是：

\[G-(\lceil n/2\rceil-1) \]

所以当 \(n\) 增加时，首领收益并不是乱跳的，而是很稳定地下降：下降速度大约是每 2 个海盗损失 1 枚金币。

如果金币固定为 100 枚，那么首领最多只能买出 100 张“1 枚金币的票”。

而经典版中，首领需要的额外票数是：\( \lceil n/2\rceil-1 \)。所以对 100 枚金币而言，只要 \(n\le 202\) 时，将一百个金币分给后面一百个人，虽然首领没有获得金币，但仍能活下来。

到 \(n=203\) 时，就需要 101 张票，第一次不够了。这时，首领无论如何都会死。这时题目的味道就变了：它不再只是“怎么贿选”，而变成了“金币不够时，谁必须先死”。

当海盗比金币还多得多

当海盗数超过 202，首领已经没法靠“每票 1 枚”直接过关。于是最老的海盗会开始死亡，直到局面重新变得可操作。

但是并非只要超过 202 人，首领就一定会死。例如，若海盗数量为 204 人时。我可以给用一百个金币买下 5，7…… 203 号的 100 票，而 2 号海盗即使不给金币也会支持我（否则他会陷入 203 人的必死局），加上自己就可以凑够 102 票了。

超过 202 之后，会出现一串非常特别的存活点：

• 204 人时，首领又能活
• 208 人时，首领又能活
• 216 人时，首领又能活
• 232 人时，首领又能活
• 264 人时，首领又能活
• 328 人时，首领又能活

你会发现间隔在翻倍：4，8，16，32。超过临界点后，首领能活下来的位置会变得越来越稀疏。这是因为：前面几轮海盗的死亡，会制造出一批“注定下一轮得不到好处的人”，这些人会变成后续首领的“免费票”或“廉价票”。

所以人数继续增大后，问题会从简单的交替结构，进入一种更深的“死亡堆积—免费票释放”的阶段。