数论分块（整除分块）

数论分块（整除分块）

引入

给定 \(n\)（\(n\le 10^9\)） 求解：\(\sum\limits_{i=1}^{n}\lfloor\cfrac{n}{i}\rfloor\) 。

暴力算法：\(O(n)\) 无法通过。

假设 \(n=10\)，则可以发现：

• 当 \(i=1\) 时，\(\lfloor\cfrac{10}{i}\rfloor=10\)。
• 当 \(i=2\) 时，\(\lfloor\cfrac{10}{i}\rfloor=5\)。
• 当 \(i=3\) 时，\(\lfloor\cfrac{10}{i}\rfloor=3\)。
• 当 \(i=4,5\) 时，\(\lfloor\cfrac{10}{i}\rfloor=2\)。
• 当 \(i=6,7,8,9,10\) 时，\(\lfloor\cfrac{10}{i}\rfloor=1\)。

注意到实际上取值非常有限，甚至出现连续 \(5\) 个取值相同，考虑能不能根据相同的 \(\lfloor\cfrac{n}{i}\rfloor\) 分块，最终答案为：

\[\sum_{i=1}^{\text{块数}}\text{(块的值)}\times\text{(块的答案)} \]

时间复杂度

现在对块数（时间复杂度），进行证明：

• 当 \(i\le \sqrt n\) 时，\(i\) 有 \([1,\sqrt n]\) ，共 \(\sqrt n\) 种取值。
• 当 \(i>\sqrt n\) ，即 \(\lfloor\cfrac{n}{i}\rfloor<\sqrt n\) 时，\(\lfloor\cfrac{n}{i}\rfloor\) 有 \([1,\sqrt n-1]\) ，共 \((\sqrt n-1)\) 种取值。

故共 \((2\sqrt n-1)\) 种取值，时间复杂度 \(O(\sqrt n)\)。

算法

问题现在集中于如何确定块的边界，也就是已知左端点 \(l\)，如何快速求解右端点 \(r\)。

分析本质，令块的值 \(k=\lfloor\cfrac{n}{l}\rfloor\)，问题就是找到一个最大的 \(r\) ，使得 \(\lfloor\cfrac{n}{r}\rfloor=k\)。

即：

\[k\le\cfrac{n}{r} \]

移相：

\[r\le\cfrac{n}{k} \]

由于 \(r\) 为正整数，所以：

\[r_{max=}\lfloor\cfrac{n}{k}\rfloor \]

将 \(k\) 代换，即可得到 \(r\) 的取值：

\[r_{max=}\lfloor\cfrac{n}{\lfloor\cfrac{n}{l}\rfloor}\rfloor \]

代码：

int sum = 0,r = 0; // 这里为求和
for (int l = 1;l <= n;l = r + 1) {
  r = (n / (n / l));
  sum += (r - l + 1) * (n / l);
}