随笔分类 - 数论
摘要："嘟嘟嘟" 这题跟上一道题有点像，但是我还是没推出来……菜啊 $$\begin{align } ans &= \sum_{i = 1} ^ {n} \frac{i n}{gcd(i, n)} \\ &= n \sum_{d | n} \sum_{i = 1} ^ {n} [gcd(i, n) = d
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摘要："嘟嘟嘟" . $$\begin{align } ans &= \sum_{i = 1} ^ {n} (i, n) \\ &= \sum _ {d | n} ^ {n} \sum _ {(i, n) = d} ^ {n} d \\ &= \sum _ {d | n} ^ {n} \sum _ {(i
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摘要：嘟嘟嘟 学完数论分块，觉得这题不难啊。（难道是我变强了？） 推式子就行。 $$\begin{align*} G(n, k) &= \sum_ ^ k \ \ mod \ \ i \ &= \sum_ ^ k - \left \lfloor \frac \right \rfloor * i \ &=
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摘要：其实主要是想发一下线性筛的板子，包括线性筛质数，约数个数，欧拉函数和莫比乌斯函数。 有些也会有一点简单的证明。 线性筛质数就不说啦。 然后加一个筛欧拉函数。 当$i$为质数的时候，自然$\varphi(i) = i - 1$。 令$n = mp$， 当$p \nmid m$的时候，有$\varphi
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摘要："嘟嘟嘟" 这道题就是求一个奇素数$p$的原根数量。 公式是$\varphi(\varphi(p))$。又因为$p$是质数，所以就是$\varphi(p 1)$。 （证明啥的我不会……）
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摘要："嘟嘟嘟" 黄题 + 绿题 + 蓝题 = 紫题…… 对于询问1，直接快速幂。 对于询问2，$exgcd$。 对于询问3,$bsgs$，但要特判一下$a \ \ mod \ \ c = 0$且 $b \ \ mod \ \ c \neq 0$的时候应该无解。 $bsgs$不懂的可以看我的 "这篇博客"
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摘要：这几天沉迷在数论的海洋中（快淹死了）无法自拔…… 首先高次不定方程分为$A ^ x \equiv B(mod \ \ C)$和$x ^ A \equiv B(mod \ \ C)$两种形式，对应的解法也不一样。今天先学了第一个。 $A ^ x \equiv B(mod \ \ C)$ 首先得知道这么
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摘要："嘟嘟嘟" 一道题又写了近两个点…… 这道题直接暴力快速幂肯定会爆（别想高精），所以还是要用一点数学知识的～ 有一个东西叫欧拉降幂公式，就是： $x ^ y \equiv x ^ {y \ \ mod \ \ \varphi(p) + \varphi
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摘要：如题，解法主要是合并法和中国剩余定理。 而且据我所知，合并法好像就是扩展中国剩余定理…… 一元线性同余方程组就是一堆形如 $x \equiv a_1(mod \ \ m_1)$的同余方程，然后一般让你求出一个最小正整数解。 算法1 合并法 也就是我们将方程两两合并，然后求出合并后的解，从而推出最终解
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摘要：最近又开始搞数论了……今天是欧拉函数，对于一些性质或定理，我可能会证明啥的 首先欧拉函数$\varphi(n)$指不超过$n$与$n$互素的数的个数。比如$\varphi(8) = 4$ 性质：对于$n = ^ * ^ * ^ \ldots ^ \(，有\)\varphi(n) = \varphi(
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摘要：嘟嘟嘟 没错，就是一个板子。 够早的矩阵很简单： 1 0 1 1 0 0 0 1 0 然后我们把这个矩阵快速幂乘n - 3次后，a[0][0] + a[0][1] + a[0][2]就是答案。 然而我刚开始一直把a[0][0] + a[0][2]当成答案，所以一直不对。因为递推式是这么给的，我就觉得
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摘要：嘟嘟嘟 打表不难发现，序列的长度以及序列中1的个数都是斐波那契数列。因为第 i 秒1的个数由 i - 1的1和 i - 2的0变换而来，那么f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]。序列的长度同理，第 i 秒的序列长度由 i - 1秒的长度加上 i - 1 秒的1变换而来，而i - 1秒
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摘要：嘟嘟嘟 应该算一道结论题吧。 首先很明显的一点，就是对于ai,j，我们只用求出ai,1就行了，剩下的就是斐波那契和矩阵快速幂的事。 至于如何求ai,1，用两种方法，但是哪一个我都不懂为啥，网上也没有解释。 F1：斐波那契最小拆分。对于 i，拆分 i - 1：每一次选择小于i - 1且最大的斐波那契数
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摘要：其实就是怕忘了……这里发一下线性求逆元以及阶乘的逆元的板子。 线性求逆元 逆元是啥我就不说了，但是线性递推式怎么来的我还是可以证明一下的。 求 i 的逆元，假设[1, i - 1]的逆元已知。 设 p = k * i + b，则 b = p % i, k = ⌊p / i⌋ 。 则k * i + b
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摘要：嘟嘟嘟 这道题正解是怎么对的其实我也不清楚，总之靠感性理解吧。 首先当然要把１到n / 2的素数都筛出来，因为两两能配对的数一定都是这些素数的倍数。这也就说明对于(n / 2, n]的素数，他们一定不能配对，所以就不用筛他们了。 筛完后我们考虑怎么配对，对于一个素数的所有倍数xi，他们任意两个都可以
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摘要：嘟嘟嘟 题面就是说，解方程 a + c * x Ξ b (mod 2k) 然后变个型：a + c * x - 2k * y = b - a。用exgcd求解即可。 刚开始我以为b - a还要正负讨论，但其实不用，因为正负数取摸结果不一样。 然后我调了半天是因为当a = b = c = k = 0的时
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摘要：嘟嘟嘟 我一眼就知道是exgcd，但是还是想的不太周全。 应该分两种情况：１．ａ在左边，ｂ在右边。那么得出方程ax - by = d。然后就是正常的exgcd求解了： 解得ax + by = (a, b)的解x', y'。 算出ax + by = d的解x = x' * d / (a, b) 算出ｘ
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摘要：嘟嘟嘟 题目大意：给一个数ｘ，让你求这样一个最长的序列，以及最长的序列的种数： １．第０项为１，最后一项为ｘ（序列长度不算这两项）。 ２．每一项都是ｘ的因子。 ３．对于任意的ai和ai+1，ai < ai+1且ai | ai+1。 每一项都是ｘ的因子，那么先把ｘ分解质因数，用这些数凑成的数一定都是ｘ
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摘要：嘟嘟嘟 求出[L, R]中每一个数的约数再相加必定会超时,所以换一种思路：枚举约数d。 对于一个约数d，能整除他的数可以写成k * d, (1 <= k <= ⌊n / d⌋)，因此约数d对答案的贡献是⌊n / d⌋ * d，f(i)表示[1, i]的约数和，那么f(n) = ∑⌊n / i⌋ *
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摘要：嘟嘟嘟 L, R很大，所以哪怕用线性筛也会T飞的，但是看到R - L不太大，因此我们可以先筛出[1, √R]所有素数，然后用这些数筛出[L, R]的所有合数。具体做法是对于每一个pi，筛去所有的 i * pi （⌈L / i⌉ <= i <= ⌊R / i⌋）。然后遍历[L, R]的所有素数更新答案
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