数论学习笔记之一元线性同余方程组
如题，解法主要是合并法和中国剩余定理。
而且据我所知，合并法好像就是扩展中国剩余定理……
一元线性同余方程组就是一堆形如 \(x \equiv a_1(mod \ \ m_1)\)的同余方程，然后一般让你求出一个最小正整数解。
算法1 合并法
也就是我们将方程两两合并，然后求出合并后的解，从而推出最终解。实现的时候实际上是累加的合并，就是如果有三个方程\(s1, s2, s3\)，那么先算出\(s1, s2\)合并后的解，然后得到一个新方程再和\(s3\)合并，再解出这两个方程的解。
那么就以两个方程为例吧：
\(x \equiv r_1 (mod \ \ a_1)\)
\(x \equiv r_2 (mod \ \ a_2)\)
首先展开得：
\(x = r_1 + y_1a_1\)
\(x = r_2 + y_2a_2\)
这个时候我们想：如果只有第一个方程，那么答案就是\(r_1\)，但现在有两个，因此要联立：
\(r_1 + y_1a_1 = r_2 + y_2a_2\)
\(y_1a_1 - y_2a_2 = r_2 - r_1\)
对于这个方程，我们只要解出最小的正整数解\(y_1\)，则答案就是\(r_1 + y_1a_1\)。因为首先解出的解一定是同时满足这两个方程的，然后让答案为正整数，且最小，那么\(y_1\)就要是最小正整数解。
至于解这个方程，用\(exgcd\)就行了，这里不在赘述。需要注意的是如果\(r_2 - r_1\)不能整除\(gcd(a_1, a_2)\)，说明方程组误无解。
那么到现在就成功合并了两个方程，接下来讲一下怎么得到新的方程：
假如这两个方程的最小正整数解是\(x'\)，那么他的通解是\(x' + k * lcm(a_1, a_2)\)，也就可以写成\(x \equiv x' (mod \ \ lcm(a_1, a_2))\)，于是这就是新的方程了！然后拿这个方程再和别的方程合并即可。
最后的\(r_1\)就是答案。
附上例题和代码：poj 2891
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define rg register
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
//const int maxn = ;
inline ll read()
{
ll ans = 0;
char ch = getchar(), last = ' ';
while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
if(last == '-') ans = -ans;
return ans;
}
inline void write(ll x)
{
if(x < 0) x = -x, putchar('-');
if(x >= 10) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
int n;
void exgcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll& y)
{
if(!b) d = a, x = 1, y = 0;
else exgcd(b, a % b, d, y, x), y -= a / b * x;
}
int main()
{
while(scanf("%d", &n) != EOF)
{
bool flg = 1;
ll a1 = read(), r1 = read(), a2, r2, a, b, c, d, x, y;
for(int i = 1; i < n; ++i)
{
a2 = read(); r2 = read();
a = a1; b = a2; c = r2 - r1;
exgcd(a, b, d, x, y);
if(c % d) flg = 0;
ll t = b / d;
x = (x * (c / d) % t + t) % t;
r1 += a1 * x; //更新余数
a1 *= a2 / d; //更新模数，那么新的方程就是x = r1 + y1 * a1
}
if(!flg) puts("-1");
else write(r1), enter;
}
return 0;
}
算法２：**中国剩余定理** 我以前有一篇博客好像也讲过，然而现在早忘了，于是这里再叨叨一遍。 至于这个算法是怎么想出来的，我也不知道。 令$M = \prod_{i = 1} ^ {n}{m_i}$，$M_i = M / m_i$，那么每一个方程就变成了$M_iw_i \equiv a_i(mod \ \ m_i)$，于是我们求出$w_i$就行。然而这很不好求，所以先求出$M_it_i \equiv 1 (mod \ \ m_i)$的解$t_i$，则$w_i = t_ia_i$。 最终的解$x = \sum_{i = 1} ^ {n}{a_iM_it_i}$。 例题就找了人人皆知的[曹冲养猪](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1495) ```c++ #include
int n;
ll l[maxn], b[maxn], p[maxn], multi[maxn], M = 1;
ll x, y;
ll ans = 0;
void exgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
{
if(!b) x = 1, y = 0;
else exgcd(b, a % b, y, x), y -= x * (a / b);
}
int main()
{
n = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
p[i] = read(); b[i] = read();
M *= p[i];
}
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
ll m = M / p[i];
exgcd(m, p[i], x, y);
x = (x + p[i]) % p[i];
ll t = m * x;
ans += (t * b[i]);
}
ans %= M;
write(ans), enter;
}
</br>
</br>
[祭]终于把一元线性同余方程懂了……