数论学习笔记之欧拉函数
最近又开始搞数论了……今天是欧拉函数，对于一些性质或定理，我可能会证明啥的
首先欧拉函数\(\varphi(n)\)指不超过\(n\)与\(n\)互素的数的个数。比如\(\varphi(8) = 4\)
性质：对于\(n = {p_1}^{a_1} * {p_2} ^ {a_2} * {p_3} ^ {a_3} \ldots {p_s} ^ {a_s}\)，有\(\varphi(n) = \varphi({p_1} ^ {a_1}) * \varphi({p_2} ^ {a_2}) * \varphi({p_3} ^ {a_3}) \ldots \varphi({p_s} ^ {a_s})\)。
然后就是各种定理了：
以下的\(p\)都是素数！
定理1：\(\varphi(n) = n * (1 - \frac{1}{p_1}) * (1 - \frac{1}{p_2}) * (1 - \frac{1}{p_3}) \ldots (1 - \frac{1}{p_s})\)。
证明可以用容斥：设\(p\)是\(n\)的质因子，那么\(1\)$n$中$p$的倍数有$\frac{n}{p}$个。同理$q$也是$n$的质因子，则$1$\(n\)中\(q\)的倍数有\(\frac{n}{q}\)个。去掉\(\frac{n}{p} + \frac{n}{q}\)后，根据容斥原理，要再补回来\(\frac{n}{pq}\)个，那么\(1\)~\(n\)中不与\(n\)含有共同质因子\(p\)或\(q\)的数的个数为\(n - \frac{n}{p} - \frac{n}{q} + \frac{n}{pq} = n * (1 - \frac{1}{p} - \frac{1}{q} + \frac{1}{pq}) = n * (1 - \frac{1}{p}) * (1 - \frac{1}{q})\)。类似的，对于\(n\)的所有质因子使用上述容斥原理，可以得到定定理1.
定理1的推论：当\(n\)为奇数时，\(\varphi(2n) = \varphi(n)\)。
定理2：\(\varphi(p) = p - 1\)。
（显然成立）
定理3：\(\varphi(p^a) = p^a - p^{a - 1}\)。
证明代入到定理1即可。
定理4：积性：如果\(n\)和\(m\)互质，则\(\varphi(nm) = \varphi(n) * \varphi(m)\)。
证明也是用定理1。
这样也可以推出它的性质。
定理5：如果\(n \geqslant 2\)，则\(\varphi(n)\)是偶数。
证明：\(n = \prod{{p_i}^{a_i}}\)，因为\({p_i} ^ {a_i}\)互质，根据定理3和4可知，\(\varphi(n) = \prod{{p_i} ^ {a_i} - {p_i} ^ {a_i - 1}}\)。考虑\(p_i\)，如果\(p_i = 2\)，那么\({p_i} ^ {a_i} - {p_i} ^ {a_i - 1}\)显然是偶数；如果\(p_i \neq 2\)，则\(p_i\)一定是奇数，所以\({p_i} ^ {a_i}\)和\({p_i} ^ {a_i - 1}\)也都是奇数，相减就是偶数。偶数相乘，结果是偶数。证毕。
定理6：\(\sum_{d \mid n}{\varphi(d) = n}\)。
证明：首先令\(f(x) = \sum_{d \mid x}{\varphi(d)}\)，则\(f(x)\)是一个积性函数（但这一步我不会证）。
那么\(f(n) = \prod{f({p_i} ^ {a_i})}\)。而\(f({p_i} ^ {a_i}) = \varphi({p_i} ^ 0) + \varphi({p_i} ^ 1) + {\varphi(p_i) ^ 2} \ldots \varphi({p_i} ^ {a_i}) = 1 + {p_i} - 1 + {p_i} ^ 2 - {p_i} + {p_i} ^ 3 - {p_i} ^ 2 \ldots {p _i} ^ {a_i} - {p_i} ^ {a_i - 1} = {p_i} ^ {a _i}\)。
所以\(f(n) = \prod{{p_i} ^ {a_i}} = n\)
然后就引出了欧拉定理：
对于任何两个互质的正整数\(a, m(m \geqslant 2)\)有\(a ^ {\varphi(m)}\equiv 1 (mod\) \(m)\)
（不会证）
当m是质数的时候，就有费马小定理：\(a ^ {m - 1} \equiv 1 (mod\ m)\)。最常见的应用是用费马小定理求逆元：\(a^{-1} \equiv a ^ {m - 2} (mod\ m)\)
小补充：最近又看了看欧拉定理，第一反应的公式是\(\varphi(n) = n - (a_1 + 1) * (a_2 + 1) * \ldots * (a_m + 1)\)，也不知道我这个对不对，反正没看人用过这个……
