随笔分类 - 数论
摘要：组合数可以表示为 \[ C^m_n = \frac{n!}{m!(n-m)!} \] 假设$n!,m!,(n-m)!$含因子$2$的个数分别为$A,B,C$ 则当$A=B+C$时，$C^m_n$为奇数 那么如何求出$n!$的因子个数呢？ 对于一个质数$p$， 它的倍数$kp^i$含因子$p$的个数为
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摘要：gate \(BSGS(Baby\ Steps\ Giant\ Steps)\) 对于 \(a^x\equiv b\pmod{p}\) ，求$x_$ 由于模的剩余类会产生循环节，根据鸽巢原理， $a0, a1, \ldots, a^$模$p$（$p$为质数）意义下的剩余类与$an, a{n+1},
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摘要：gate 计算第$K$个不含完全平方因子的数。 利用容斥原理，计算时，需要减去$22,32,52...$，加上$62,102,152...$，减去$30^2...$ 即， $ans(n) =n\ -\ $含$1$个质因子平方的数 \(+\) 含$2$个质因子平方的数 \(-\) 含$3$个质因子平方
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摘要：gate \(\sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{m} lcm(i,j)\) \(= \sum\limits_{i = 1}^{n}\sum\limits_{j = 1}^{m} \dfrac{i\cdot j}{gcd(i,j)}\) \(= \
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摘要：gate 设$\sigma(i)$表示$i$的因子之和。 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sigma(gcd(i,j))\ [\sigma(gcd(i,j))\le a]\) \(\sum\limits_{k=1}^n\sigma(k)\sum\li
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摘要：gate 一个植物 \((x,y)\) 与$(0,0)$上的连线共有 $gcd(x,y)$个点，再减去两个端点， 能量损失即为$2\times(gcd(x,y)-2)+1 = 2\times gcd(x,y)+1$ 所以题目要求的即： \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits
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摘要：gate \(\large \sum\limits_{i=1}^{a}\sum\limits_{j=1}^{b}[gcd(i,j)=x]\) \(=\large \sum\limits_{i=1}^{\frac{a}{x}}\sum\limits_{j=1}^{\frac{b}{x}}[gcd(i,
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摘要：gate \(\sum\limits_{i=1}^{n}lcm(i,n)\) \(=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{i\times n}{gcd(i,n)}\) \(=n\times\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{i}
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摘要：gate \(\sum\limits_{i=1}^{n}gcd(i,n)\) \(=\sum\limits_{d=1}^{n}d \sum\limits_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=d]\) \(=\sum\limits_{d=1}^{n}d \sum\limits_{i=1}^{\fra
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摘要：gate $$ans = \sum\limits_ k \bmod i \ = \sum\limits_ k - \lfloor \frac \rfloor * i \ = n*k-\sum\limits_^\lfloor \frac \rfloor * i $$ $i \le \sqrt k$时，
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摘要：杜教筛用来解决积性函数求前缀和的问题。 复杂度为$O(n^\frac{2}{3})$ 适用情况： 已知函数$f$，求$\sum f$， 存在$f*g=F$，且$g,\sum g,F,\sum F$容易求出。 常用公式： \(\mu*I=[n=1]\) \(\varphi*I=id\) 以求$\sum
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摘要：原文：2018-12-18 欧拉函数是小于$n$的整数中与$n$互质的数的个数，一般用$\varphi(n)$表示。 通式： \(\varphi(n) = n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})\) 其中$p_1, p_2……p
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摘要：素数定理 \(\pi(x)\) 来表示小于一个正实数$x$的素数个数 \(\pi(x) = \frac{x}{ln(x)} (x\rightarrow \infty)\) 唯一分解定理（算数基本定理） 任何一个大于1的自然数$N$，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 \(n=p_1^{a_1}p_2^
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摘要："gate" 求： $$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m gcd(i,j)$$ 设$gcd(i,j) = k$，枚举$k$ $$\sum\limits_{k=1}^n k \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m [gc
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摘要："gate" 一年多前做的题，没想到当时还是会莫反的，果然现在越来越菜了 求： $$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[gcd(i,j)\in prime]$$ 设$gcd(i,j)=k,n m$（否则swap） $$\sum\limits_{k=1}^n\
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摘要：随便整理下，其实我也不是很懂 ##整除分块 \(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor \leq \frac{n}{i} \implies i \leq \lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} \rfloor\) 即$\lfloor
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摘要：gate ##费马小定理： 当$a,p\in \mathbb Z$且$p$为质数，\(a\not=0 \pmod p\) 时有： \(a^{p−1}\equiv1 \pmod p\) 所以 \(a^b \equiv a^{b\mod{p-1}} \pmod p\) ##欧拉定理： 当 \(a,m\i
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摘要：震惊！某OIer竟使用$O(n^2)$筛法长达1年！ 原来筛欧拉函数是和筛素数差不多的，一个埃氏筛法，一个线性筛... 要实现线性筛，必须先明确欧拉函数的以下性质： 设$p$为素数，则有 $\varphi(p) = p 1$ $如果i与p互质, 那么 \varphi(i p) = \varphi(i
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摘要：gate 当一个数列满足，但它的1,2项不是1,1时， 称它为类斐波那契数列。 它满足以下性质： 若有： 1.设，则 2. 证明： 设，则 3.前缀和公式： 证明： 通过以上性质，发现它可以用线段树维护。 对于每个节点，$sum$表示区间和； $c1$,$c2$表示这段区间被加上了前两项分别为$c1
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摘要：gate 矩阵乘法加速模板qwq 感觉比之前写的好看了点 代码如下 #include<cstdio> #include<iostream> #include<cmath> #include<cstring> #define MogeKo qwq #define int long long using
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