P3846 [TJOI2007] 可爱的质数/【模板】BSGS

gate

\(BSGS(Baby\ Steps\ Giant\ Steps)\)

对于 \(a^x\equiv b\pmod{p}\) ，求$x_$

由于模的剩余类会产生循环节，根据鸽巢原理，

$a^{0, a}1, \ldots, a^$模$p$（$p$为质数）意义下的剩余类与$a^{n, a}{n+1}, \ldots, a^{2n-1}$的剩余类相同，

因此我们要的答案一定在$[0, n-1]$内。

把这$n$个数分块， 设$m=\lceil\sqrt\rceil$（向上取整）。

设$x=i*m-y$，

\(a^{i*m-y}\equiv b\pmod{p}\)

\(a^{i*m}\equiv b\times a^y\pmod{p}$\)

检查 $a^y$是否在出现过，可以用$map$或哈希表记录。

首先求出$a^1,a2, \ldots, a^{m$，并记录$hash[b\times a}i]=i$

枚举每个块的端点$now = now \times a^m$

若找到了$hash[now]$，则答案即为$i*m-hash[now]$。

时间复杂度为$O(\sqrt p)$