组合数的奇偶性
组合数可以表示为
\[C^m_n = \frac{n!}{m!(n-m)!}
\]
假设\(n!,m!,(n-m)!\)含因子\(2\)的个数分别为\(A,B,C\)
则当\(A=B+C\)时，\(C^m_n\)为奇数
那么如何求出\(n!\)的因子个数呢？
对于一个质数\(p\)，
它的倍数\(k*p^i\)含因子\(p\)的个数为即为\(i(k=1,2,3...)\)
于是只要求出\(n!\)中所有的\(k*p^i\)即可，
则\(n!\)含因子\(p\)的个数为
\[\lfloor \frac{n}{p} + \frac{n}{p^2} + \frac{n}{p^3} + \frac{n}{p^4} + ... \rfloor
\]
所以\(n!\)含因子\(2\)的个数为
\[f(n) = \lfloor \frac{n}{2} + \frac{n}{2^2} + \frac{n}{2^3} + \frac{n}{2^4} + ... \rfloor
\]
其中，可以将\(n\)表示为二进制拆分的形式：
\[n = (a_1*2^0)+ (a_2*2^1)+ (a_3*2^2)+ (a_4*2^3)+...
\]
则\(f(n)\)就可以表示成
\[f(n) = \sum \limits_{j=1}^{k} \frac{(a_1*2^0)+(a_2*2^1)+...+ (a_k*2^{k-1})}{2^j}
\]
将式子简化
\[= \sum \limits_{j=1}^{k} \frac{(a_{j-1}*2^j)+...+ (a_k*2^{k-1})}{2^j}
\]
\[= \sum \limits_{j=1}^{k} \sum \limits_{i=j+1}^{k} \frac{a_{i}*2^{i-1}}{2^j}
\]
\[= \sum\limits_{i=1}^{k} a_i \sum\limits_{j=1}^{i-1} \frac{2^{i-1}}{2^j}
\]
\[= \sum\limits_{i=1}^{k} a_i \sum\limits_{j=0}^{i-2} 2^j
\]
\[= \sum\limits_{i=1}^{k} a_i * (2^{i-1} - 1)
\]
\[= \sum\limits_{i=1}^{k} a_i * 2^{i-1} - \sum\limits_{i=1}^{k} a_i
\]
\[= n - \sum\limits_{i=1}^{k} a_i
\]
观察这个式子，可以发现
\[\sum\limits_{i=1}^{k} a_i = n在二进制下1的个数
\]
设\(n,m,(n-m)\)在二进制下\(1\)的数目分别为\(a,b,c\)
要满足\(A=B+C\)，则：
\[n−a=m−b+(n−m)−c
\]
\[a=b+c
\]
要满足这个条件则有
\[(n\&m) == m
\]
