FBMO 1

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Day 1

1. 称一个复系数多项式 \(f\) 为好的, 若 \(f\) 非常值且所有复根模长均为 \(1\).
   求所有复数 \(z\), 使得存在复系数多项式 \(f\), 满足 \(f(x)+z,f(x)-z,f(zx)\) 均为关于 \(x\) 的好多项式.

2. 给定平面上两 (不同) 点 \(A,B\) 与正实数 \(k\). 若平面上一点 \(C\) 满足:
   (i) \(\angle BAC\ne90^\circ\), \(C\) 不在直线 \(AB\) 上.
   (ii) 设 \(\triangle ABC\) 外心 \(O\), \(\bigodot(BOC)\) 与直线 \(AC\) 交于 \(C,E\) 两点 (若 \(\bigodot(BOC)\) 与 \(AC\) 相切, 取 \(E=C\)), \(CF\perp AB\) 于 \(F\), \(OG\perp EF\) 于 \(G\), 则 \(\dfrac{AG}{GE}=k\).
   求 \(C\) 的轨迹 (用 \(A,B,k\) 表示).

3. 给定正整数 \(k\ge2\), 求最小的正实数 \(C\), 使得对任意正整数 \(n\) 与整数序列 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\), 总可以进行若干次操作, 每次操作可选取不超过 \(k\) 个下标连续的项 \(a_l,\cdots a_r\), 将这些项合并为一项 \(\max\{a_l,\cdots,a_r\}+1\), 使得最终只留下一个正整数 \(b\), 且 \(k^b\le C(k^{a_1}+\cdots+k^{a_n})\).

Day 2

4. 给定正整数 \(n\). 设 \(X=\{1,2,\cdots,n\}\). 求满足以下条件的函数 \(f:X\to X\) 的个数:
   存在双射 \(g:X\to X\), 使得对任意 \(i\in X\), 有:
   (i) \(f(i)\le g(i)\).
   (ii) 对任意 \(x\in X,f(i)\le x\le g(i)\), 存在 \(j\in X,1\le j<i\) 使得 \(x=g(j)\).

5. 实数 \(x_1,\cdots,x_n\ge0\) 满足 \(\forall 1\le i\le n\):

\[\dfrac{x_1+\cdots+x_i}i\ge\dfrac{x_1+\cdots+x_n}n \]

实数 \(y_1,\cdots,y_n\ge0\) 满足 \(\forall 1\le i,j,i+j\le n\):

\[iy_i+jy_j\ge(i+j)y_{i+j} \]

证明:

\[x_1y_1+\cdots+x_ny_n\ge(x_1+\cdots+x_n)y_n \]

6. 求所有无界函数 \(f:\Z\to\Z\), 使得 \(f(0)=0\), 且 \(\forall x,y\in\Z\):

\[f(x+f(y))\mid x^2+f(y^2)+2f(x)y \]

约定 \(0\mid0,0\nmid n(n\ne0)\).