FBMC 1

Test 1

1. \(m,n\) 为实数, 满足关于 \(x\) 的方程 \(x^3+(2m+n)x^2+(m^2+mn+n)x+(mn+n^2)=0\) 的三个实根均在区间 \([\dfrac12,2]\) 中, 则 \(m+n\) 的取值范围是 ().

2. \(k\) 为正实数, 满足 \(y=\dfrac{\sin(\pi x)}x\) 的图像与 \(y=-k\ln x\) 的图像恰有三个交点, 则 \(k\) 的最大值是 ().

3. 在三棱柱 \(P-ABC\) 中, \(PA=PB=4,PC=AB=3,AC=BC=2\). \(L,M,N\) 分别为线段 \(PA,AC,CB\) 上的动点, 则 \(\triangle LMN\) 面积的最大值为 ().

4. 等差数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_3\) 为 \(a_1\) 和 \(a_6\) 的等比中项, 且 \(a_1+a_2+\cdots+a_{10}=17\), 则 \(a_n\) 的通项公式是 ().

5. 非零复数 \(z,w\) 满足 \(\dfrac{2|z+w|}{|z|+|w|}\le\left|\dfrac{z}{|z|}+\dfrac{w}{|w|}\right|\), 则 \(\dfrac{2z}{w}\) 在复平面上的轨迹长度为 ().

6. 椭圆 \(C_1\) 与双曲线 \(C_2\) 均以 \((-1,0),(1,0)\) 为焦点, 且均过点 \((1,1)\). 实数 \(d\) 满足对任意 \(C_1\) 上的点 \(A\) 与 \(C_2\) 上的点 \(B\), 有 \(A\) 到 \(OB\) 的距离不超过 \(d\). 则 \(d\) 的最小值是 ().

7. \(m,n\) 为正整数, 满足 \(m\le n\), 且关于 \(x\) 的方程 \(\sin^mx+\cos^ny=1\) 在区间 \((0,\dfrac\pi2)\) 上有解, 则 \(m\) 的值为 ().

8. 设 \(x_n\) 为区间 \([0,\dfrac{n}{n+1}]\) 中独立等概率选取的实数, 则 \(x_1\le x_2\le x_3\le x_4\le x_5\) 成立的概率为 ().

9. 设 \(n\) 为正整数, 求

\[\dfrac{\sqrt{n-\sqrt0}+\sqrt{n-\sqrt1}+\cdots+\sqrt{n-\sqrt{n^2}}}{\sqrt{n+\sqrt0}+\sqrt{n+\sqrt1}+\cdots+\sqrt{n+\sqrt{n^2}}} \]

的值.

10. 设数列 \(\{a_n\}_{n\ge1}\) 满足 \(a_1=a_2=1,a_{n+2}=(n+1)(a_{n+1}+a_n+2n-2)\).
    (1) 求 \(a_n\) 的通项公式.
    (2) 证明: \(a_{n+1}\le4(1+\dfrac{3!-1}{2!-1})(1+\dfrac{4!-1}{3!-1})\cdots(1+\dfrac{n!-1}{(n-1)!-1})(n\ge3)\).

11. 椭圆 \(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 的左顶点为 \(A\), 上顶点为 \(B\), 右焦点为 \(F\), 且 \(\angle ABF=90^\circ\).
    (1) 求 \(C\) 的离心率.
    (2) 若 \(P\) 是 \(C\) 上一动点, \(\angle APF\) 的最大值为 \(\alpha\). 求 \(\tan\alpha\).

Test 2