2026.1.17抽象代数考试

1. 是否存在 \(\mathbb{Q}/\Z\) 的有有限指数 (Index) 的真子群 \(H\)?

解 不存在.

设 \(H\le\mathbb{Q}/\Z\) 有有限指数 \(n\), 则 \(n((\mathbb{Q}/Z)/H)=0\), 即 \(\forall x\in\mathbb{Q}/Z:n(x+H)=0\), 从而 \(nx\in H\).

故 \(n(\mathbb{Q}/Z)\subseteq H\). 但 \(n(\mathbb{Q}/Z)=\mathbb{Q}/Z\), 所以 \(H=\mathbb{Q}/Z\). \(\square\)

2. 设 \(G\) 是一个有限群, \(\sigma\) 是 \(G\) 上的自同态, \(\sigma(g)=g\) 当且仅当 \(g=e\), 且 \(\sigma^2=Id\). 证明 \(G\) 是 Abel 群.

证明 由 \(\sigma^2=Id\) 知 \(\sigma\) 是双射, 从而是 \(G\) 的自同构.

step1: \(f:G\to G\), \(f(g)=\sigma(g)g^{-1}\) 是双射 (不一定是同态). 由于 \(G\) 有限, 只需说明 \(f\) 为单射.

若 \(\sigma(g)g^{-1}=\sigma(h)h^{-1}\), 则 \(\sigma(h)^{-1}\sigma(g)=h^{-1}g\), \(\sigma(h^{-1}g)=h^{-1}g\), 从而由题目条件知 \(h^{-1}g=e\), 即 \(g=h\).

step2: \(\sigma(g)=g^{-1}\).

对于所有元素 \(g\in G\), 存在 \(x\) 使得 \(g=\sigma(x)x^{-1}\), 所以 \(\sigma(g)=\sigma(\sigma(x)x^{-1})=\sigma(\sigma(x))\sigma(x^{-1})=x\sigma(x)^{-1}=g^{-1}\).

step3: \(G\) 为 Abel 群.

对于所有元素 \(g,h\in G\), \(gh=(h^{-1}g^{-1})^{-1}=\sigma(\sigma(h)\sigma(g))=\sigma(\sigma(h))\sigma(\sigma(g))=hg\). \(\square\)

3. 设 \(G\) 为有限群, \(H\) 为 \(G\) 的真子群, 满足 \(|G|\nmid[G:H]!\). 证明: 存在 \(G\) 的非平凡正规子群 \(P\) 使得 \(P\le H\).

证明 即使 \(H\) 不是 \(G\) 的正规子群, 也考虑用 \(G/H\) 表示所有 \(H\) 的左陪集构成的族.

定义 \(\tau_a:G/H\to G/H\), \(\tau_a(xH)=axH\). 易验证 \(\tau_a\) 是合理定义的双射, 从而 \(\tau_a\in S_{G/H}\).

构造映射 \(\varphi:G\to S_{G/H}\), \(\varphi(a)=\tau_a\), 则易验证 \(\varphi\) 是同态.

若 \(\tau_a=Id_{G/H}\), 则至少 \(\tau_a(H)=H\), 从而 \(a\in H\). 故 \(\ker\varphi\le H\).

由第一同构定理, \(\varphi\vartriangleleft G\) 与 \(G/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi\). 所以

\[\dfrac{|G|}{|\ker\varphi|}=|\operatorname{im}\varphi|\mid|S_{G/H}|=[G:H]! \]

由 \(|G|\nmid[G:H]!\), 我们有 \(|\ker\varphi|\ge2\). 即 \(\ker\varphi\) 非平凡. 故 \(P=\ker\varphi\) 符合题意. \(\square\)

4. 设 \(G\) 为有限群, \(p\) 为 \(|G|\) 的最小素因子, \(H\) 为 \(G\) 的指数为 \(p\) 的子群. 证明: \(H\) 为 \(G\) 的正规子群.

证明 定义 \(\tau_a:G/H\to G/H\), \(\tau_a(xH)=axH\). 易验证 \(\tau_a\) 是合理定义的双射, 从而 \(\tau_a\in S_{G/H}\).

构造映射 \(\varphi:G\to S_{G/H}\), \(\varphi(a)=\tau_a\), 则易验证 \(\varphi\) 是同态.

若 \(\tau_a=Id_{G/H}\), 则至少 \(\tau_a(H)=H\), 从而 \(a\in H\). 故 \(\ker\varphi\le H\).

由第一同构定理, \(\varphi\vartriangleleft G\) 与 \(G/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi\). 所以

\[\dfrac{|G|}{|\ker\varphi|}=|\operatorname{im}\varphi|\mid|S_{G/H}|=[G:H]!=p! \]

若 \(\ker\varphi\lneqq H\), 则存在素数 \(q\) 整除 \(|\ker\varphi|\) (从而整除 \(|G|\), 由题意知 \(q\ge p\)).
结合 \(\dfrac{|G|}{|H|}=p\) 知 \(pq\mid\dfrac{|G|}{|\ker\varphi|}\mid p!\), 矛盾.

故有 \(H=\ker\varphi\). 故 \(H\) 为 \(G\) 的正规子群. \(\square\)

5. 设 \(G\) 为有限群, \(H\) 称为 \(G\) 的 Hall 子群, 若 \(\gcd(\dfrac{|G|}{|H|},|H|)=1\). 现在 \(H\) 是 \(G\) 的 Hall 子群, \(N\vartriangleleft G\). 证明: \(H\cap N\) 是 \(N\) 的 Hall 子群, \(HN/N\) 是 \(G/N\) 的 Hall 子群.

证明 由乘积公式, \(|HN||H\cap N|=|H||N|\).
由于

\[\dfrac{|N|}{|H\cap N|}=\dfrac{|HN|}{|H|}\mid\dfrac{|G|}{|H|}\\|H\cap N|\mid|H| \]

故 \(\gcd(\dfrac{|N|}{|H\cap N|},|H\cap N|)=1\), \(H\cap N\) 为 \(N\) 的 Hall 子群.

由于

\[\dfrac{|G/N|}{|HN/N|}=\dfrac{|G|}{|HN|}\mid\dfrac{|G|}{|H|}\\|HN/N|=\dfrac{|HN|}{|N|}=\dfrac{|H|}{|H\cap N|}\mid|H| \]

故 \(\gcd(\dfrac{|G/N|}{|HN/N|},|HN/N|)=1\), \(HN/N\) 为 \(G/N\) 的 Hall 子群. \(\square\)

6. 设 \(R\) 是交换幺环, \(P\) 是一个素理想, \(R\) 的零因子都不在 \(P\) 中. 证明 \(R\) 是整环.

证明 反证, 设 \(R\) 不是整环, 则存在零因子 \(a,b\ne0\) 使得 \(ab=0\). 所以 \(ab\in P\).

由 \(P\) 为素理想, 有 \(a\in P\) 或 \(b\in P\), 从而 \(P\) 包含零因子, 与题意矛盾. \(\square\)

7. 设 \(G\) 是有限群, 素数 \(p\mid|G|\), 则 \(G\) 有 \(p\) 阶元.

证明 设 \(X=\{f:\Z_p\to G:\prod\limits_{i\in\Z_p}f(i)=e\}\), 则 \(|X|=|G|^{p-1}\).

设作用 \(\phi:\Z_p\times X\to X\), \(\phi:(i,f(k))\to f(k+i)\). 设 \(m\) 为方程 \(x^p=e\) 在 \(G\) 中解的个数.

由 Burnside 定理: \(|Orbit(X)|=\dfrac{1}{|\Z_p|}\sum\limits_{i\in\Z_p}|Fix(i)|=\dfrac{|G|^{p-1}+(p-1)m}{p}\).

因为 \(|Orbit(X)|\) 是整数, 所以 \(p\mid(|G|^{p-1}+(p-1)m)\), \(p\mid m\).

现在 \(x=e\) 是 \(x^p=e\) 的一个解, 所以 \(m\ge1\). 又 \(p\mid m\), 所以 \(m\ge p\ge 2\).
于是有一个解 \(x=x_0\ne e\) 使得 \(x^p=e\). \(x_0\) 即为所求的 \(p\) 阶元素. \(\square\)