实分析随笔

例题

1 实直线上的连通子空间

定义 连通性：设 \((X,\mathcal{T})\) 为拓扑空间，如果存在一对不交的非空开集 \(U,V\)，它们的并为 \(X\)，则称 \((X,\mathcal{T})\) 是非连通的. 否则称 \((X,\mathcal{T})\) 是连通的.

等价地，一个空间 \((X,\mathcal{T})\) 是连通的当且仅当既是开集也是闭集的集合只有 \(\varnothing,X\).

定义 设 \((L,\le)\) 是一个多于一个元素的全序集，并且满足：

(1) \(L\) 有上确界性质：\(L\) 的每个非空子集的上确界存在.

(2) 若 \(x<y\)，则存在 \(z\) 使得 \(x<z<y\).

则称 \((L,\le)\) 为一个线性连续统.

定义 设 \((L,\le)\) 是全序集，如果 \(L\) 的子集 \(Y\) 满足对于所有 \(x,y\in Y,x<z<y\)，都有 \(z\in Y\)，则称 \(Y\) 为凸集.

定理 1.1 若 \(L\) 是一个赋予序拓扑的线性连续统，则 \(L\) 的每一个凸子集 \(Y\) 都是连通的.

证明

反证，设 \(Y\) 是两个非空开集 \(A,B\) 的不交并，取 \(a\in A,b\in B\)，不妨 \(a<b\)，则 \([a,b]\subseteq Y\).

所以 \([a,b]\) 是两个非空（\(a\in A,b\in B\)）开集（相对于 \([a,b]\) 而言） \(A_0=A\cap[a,b],B_0=B\cap[a,b]\) 的不交并.

令 \(c=\sup A_0\)，下面证明 \(c\not\in A_0,B_0\)，从而推出矛盾.

情况 1. \(c\in A_0\)，则 \(c=a\) 或 \(a<c<b\). 因为 \(A_0\) 是 \([a,b]\) 中的开集，所以存在 \(d\) 使得 \([c,d)\subseteq A_0\). 由 \(L\) 为线性连续统，知存在 \(c<e<d\). 于是 \(e\in A_0\)，与 \(c\) 为上确界矛盾.

情况 2. \(c\in B_0\)，则 \(c=b\) 或 \(a<c<b\). 因为 \(B_0\) 是 \([a,b]\) 中的开集，所以存在 \(d\) 使得 \((d,c]\subseteq B_0\).

若 \(c=b\)，立刻推出矛盾，因为 \(d\) 是一个比 \(c\) 还小的 \(A_0\) 的上界.

若 \(a<c<b\)，由于 \(c\) 为 \(A_0\) 上界，故 \((c,b]\cap A_0=\varnothing\). 于是 \((d,b]=(d,c]\cup(c,b]\) 与 \(A_0\) 不交，同样有 \(d\) 是一个比 \(c\) 还小的 \(A_0\) 的上界，矛盾.

2 实直线上的紧致子空间

定义 设 \(\mathcal{A}\) 是拓扑空间 \(X\) 的一个子集族，如果 \(\mathcal{A}\) 中集合的并为 \(X\)，则称 \(\mathcal{A}\) 为 \(X\) 的覆盖. 如果 \(\mathcal{A}\) 还是开集族，则称 \(\mathcal{A}\) 是 \(X\) 的开覆盖.

定义 若拓扑空间 \(X\) 满足对任意的开覆盖 \(\mathcal{A}\)，存在有限的子开覆盖 \(\mathcal{A}'\subseteq\mathcal{A}\)，则称 \(X\) 是紧致的.

例 2.1 \(\R\) 不是紧致的. 取开覆盖 \(\mathcal{A}=\{(n,n+2):n\in\Z\}\)，则 \(\mathcal{A}\) 去掉任何一个开区间都不是覆盖.

例 2.2 \(\R\) 的子空间 \(X=\{0\}\cup\{1/n:n\in\Z^+\}\) 是紧致的. 任意给定一个 \(X\) 中的开覆盖 \(\mathcal{A}\)，其中存在一个开集 \(U\) 包含 \(0\)，它还包含除了有限个 \(1/n\) 以外的所有点.

例 2.3 任何一个有限的空间都是紧致的.

例 2.4 区间 \((0,1]\) 不是紧致的，取开覆盖 \(\mathcal{A}=\{(1/n,1]:n\in\Z^+\}\). 同理 \((0,1)\) 也不是紧致的.

定义 设 \(Y\) 是 \(X\) 的子空间，\(\mathcal{A}\) 是空间 \(X\) 的一个子集族，如果 \(\mathcal{A}\) 中集合的并包含 \(Y\)，则称 \(\mathcal{A}\) 为 \(Y\) 的覆盖. 如果 \(\mathcal{A}\) 还是开集族，则称 \(\mathcal{A}\) 是 \(Y\) 的开覆盖.

引理 2.5 设 \(Y\) 是 \(X\) 的子空间，则 \(Y\) 是紧致的当且仅当对任意\(Y\) 的开覆盖 \(\mathcal{A}\)，存在有限的子开覆盖.

相当平凡的:P

定理 2.6 紧致空间的每一个闭子空间都是紧致的.

证明

设 \(Y\) 是紧致空间 \(X\) 的一个闭子集. 任意给定一个 \(Y\) 的开覆盖 \(\mathcal{A}\)，\(\mathcal{A}\cup\{X-Y\}\) 就是 \(X\) 的开覆盖，从而其有一个子开覆盖 \(\mathcal{A}'\). \(\mathcal{A}'-\{X-Y\}\) 就是 \(\mathcal{A}\) 的有限子开覆盖.

定理 2.7 Hausdorff 空间的每一个紧致子空间都是闭的.

证明

设 \(Y\) 是 Hausdorff 空间 \(X\) 的紧致子空间，我们来证明 \(X-Y\) 是开的.

任取 \(x_0\in X-Y\)（\(Y=X\) 的情况是平凡的）. 我们证明存在开集 \(U\) 使得 \(x\in U\) 且 \(U\cap Y=\varnothing\).

对于任意 \(y\in Y\)，由 Hausdorff 条件，存在开集 \(U_y,V_y\) 分开 \(x_0,y\). 于是 \(\{V_y:y\in Y\}\) 就是 \(Y\) 的开覆盖.

由 \(Y\) 紧致，故存在 \(y_1,y_2,\cdots,y_n\in Y\) 使得 \(Y\subseteq V=V_{y_1}\cup V_{y_2}\cup\cdots\cup V_{y_n}\).

此时 \(U=U_{y_1}\cap U_{y_2}\cap\cdots\cap U_{y_n}\) 是一个包含 \(x_0\) 的开集，且和 \(V\) 不交，因而和 \(Y\) 不交.

这里再不加证明地叙述一个定理:

定理 2.8 两个紧致空间的笛卡尔积还是紧致的.

定理 2.9 设 \(X\) 是具有上确界性质的一个全序集，则关于序拓扑，\(X\) 的每一个闭区间都是紧致的.

证明

给定 \(a<b\)，设 \(\mathcal{A}\) 是空间 \([a,b]\) 自身的开覆盖（即由 \([a,b]\) 的开集组成），下面证明存在一个有限的子开覆盖.

step1: 对于所有 \(x\in[a,b)\)，存在 \(y\in[a,b],y>x\)，\([x,y]\) 可以由 \(\mathcal{A}\) 中至多两个成员覆盖.

若 \(x\) 在 \(X\) 中有直接后继，则取 \(y\) 为这个直接后继，\([x,y]=\{x,y\}\).

若 \(x\) 在 \(X\) 中没有直接后继，则取 \(A\in\mathcal{A},x\in A\). 由于 \(x\ne b\) 以及 \(A\) 为开集，故存在 \(c\) 使得 \([x,c)\subseteq A\). 任取 \(y\in[x,c)\) 即可.

step2: 设 \(C=\{y\in(a,b]:[a,y]\text{ 可以被 }\mathcal{A}\text{ 中有限个集合覆盖}\}\). 在 step 1 中令 \(x=a\) 知 \(C\ne\varnothing\). 设 \(c=\sup C\)，则 \(a<c\le b\).

step3: 下证 \(c\in C\). 等价于证明 \([a,c]\) 可以被 \(\mathcal{A}\) 中有限个集合覆盖.

反证，设 \(c\not\in C\). 选取 \(A\in\mathcal{A},c\in A\)，则由于 \(A\) 为开集，存在 \(d\) 使得 \((d,c]\subseteq A\). 则存在 \(z\in C:z\in(d,c)\)（否则 \(d\) 是比 \(c\) 更小的 \(C\) 的上界）. 所以 \([a,z]\) 可以被 \(\mathcal{A}\) 中有限个集合覆盖. 但 \([z,c]\subseteq(d,c]\subseteq A\)，所以 \([a,c]\) 可以被 \(\mathcal{A}\) 中有限个集合覆盖，\(c\in C\)，矛盾.

step4: 下证 \(c=b\).

反证，设 \(c<b\). 在 step1 中令 \(x=c\)，得到存在 \(c\in[a,b],y>c\)，使得 \([c,y]\) 可以被 \(\mathcal{A}\) 中有限个集合覆盖. step 3 证明了
\([a,c]\) 可以被 \(\mathcal{A}\) 中有限个集合覆盖，所以 \([a,y]\) 可以被 \(\mathcal{A}\) 中有限个集合覆盖，\(y\in C\)，与 \(c\) 为 \(C\) 的上确界矛盾.

推论 2.10 \(\R\) 中任意一个闭区间都是紧致的.

定理 2.11 \(\R^n\) 中的一个子集 \(A\) 是紧致的，当且仅当它是有界闭集.

证明

\((\Rightarrow)\) 由定理 2.7，\(A\) 是闭的.

现在取开覆盖 \(\{B(0,n):n\in\Z^+\}\)，则其有有限的开覆盖，所以存在 \(m\in\Z^+\) 使得 \(A\subseteq B(0,m)\)，此即 \(A\) 有界.

\((\Leftarrow)\) 设 \(\forall x,y\in A:dis(x,y)<M\). 任取 \(x_0\in A\)（\(A\) 为空集的情况是平凡的），则 \(\forall x\in A:dis(0,x)\le dis(0,x_0)+dis(x_0,x)\le dis(0,x_0)+N\) 为定值. 设 \(P=dis(0,x_0)+N\)，则 \(A\) 为紧致空间 \([-P,P]^n\) 的闭子集. 由定理 2.6，\(A\) 是紧致的.

作业

1

定理 1.1（北大 数学分析 P81T29/数学分析习题课 P74T2）设 \(\{a_n\}\) 是实数上的有界数列，则 \(\{a_n\}\) 发散当且仅当存在 \(\{a_n\}\) 的两个子列收敛于两个不同的数.

证明 \((\Leftarrow)\) 显然.

\((\Rightarrow)\) （注：用到了 Bolzano-Weierstrass (B-W) 定理: 有界数列必有收敛子列）

只需证明: 若 \(\{a_n\}\) 的每个收敛子列都收敛到 \(x\)，则 \(\{a_n\}\) 收敛到 \(x\).

反证，设 \(\{a_n\}\) 不收敛到 \(x\)，即存在 \(\epsilon>0\) 使得 \(\forall N\in\Z^+\)，存在 \(n>N\) 使得 \(|a_n-x|>\epsilon\).

也就是说，存在 \(\epsilon>0\) 使得 \(S=\{n\in\Z^+:|a_n-x|>\epsilon\}\) 是无限集，于是 \(\{a_i\}_{i\in S}\) 就是一个子列.

由 B-W 定理，\(\{a_i\}_{i\in S}\) 也有收敛子列，这个子列当然也是 \(\{a_n\}\) 的收敛子列，因而其收敛到 \(x\). 但这由 \(S\) 的定义知矛盾.

定理 1.2（北大 数学分析 P82T35/数学分析习题课 P96T10）设 \(\{x_n\}\) 是实数上的有界数列，满足 \(\lim_{n\to+\infty}(x_{n+1}-x_n)=0\). 设 \(l=\underline{\lim}_{n\to+\infty}x_n,L=\overline{\lim}_{n\to+\infty}x_n\)，则 \([l,L]\) 中每个点都是 \(\{x_n\}\) 的极限点.

证明 （注：用到了数列极限点性质: \(a\) 为 \(\{x_n\}\) 极限点 \(\iff\) \(a\) 的任意邻域包含 \(\{x_n\}\) 中的至少一项 \(\iff\) \(a\) 的任意邻域包含 \(\{x_n\}\) 中的无穷多项）

由上下极限的定义，\(l,L\) 是 \(\{x_n\}\) 的极限点. 下面证明 \((l,L)\) 中每个点都是 \(\{x_n\}\) 的极限点.

反证法，设 \(a\in(l,L)\) 不是 \(\{x_n\}\) 的极限点，则存在 \(a\) 的邻域 \((a-\delta,a+\delta)\subseteq(l,L)\) 不包含 \(\{x_n\}\) 中的任意一项.

设 \(\lim_{n\to+\infty}x_{i_n}=l,\lim_{n\to+\infty}x_{j_n}=L\).

展开极限的定义，有：

(1) \(\forall \epsilon_1>0:\exists N_1\in\Z^+:\forall n>N_1:|x_{n+1}-x_n|<\epsilon_1\)（题目条件）.

(2) \(\forall \epsilon_2>0:\exists N_2\in\Z^+:\forall n>N_2:|x_{i_n}-l|<\epsilon_2\)（下极限）.

(3) \(\forall \epsilon_3>0:\exists N_3\in\Z^+:\forall n>N_3:|x_{j_n}-L|<\epsilon_3\)（上极限）.

分别取 \(\epsilon_1<2\delta,\epsilon_2<a-\delta-l,\epsilon_3<L-a-\delta\)，得到 \(N_1,N_2,N_3\).

现在取 \(n>\max\{N_1,N_2,N_3\}\)，不妨设 \(n\le i_n<j_n\).

由于 \(x_{i_n}<l+\epsilon_2<a-\delta,x_{j_n}>L-\epsilon_3>a+\delta\)，可取 \(k=\max\{i_n\le k\le j_n:x_k\le a-\delta\}\)，则 \(x_{k+1}\ge a+\delta\)（由反证假设）. 但由 \(k\ge n>N_1\) 知 \(|x_{k+1}-x_k|<\epsilon_1<2\delta\)，矛盾.