集合论及相关延伸
1 集合
1.1 集合的有关概念
德国数学家 G.Cantor 在 19 世纪讨论函数项级数的收敛问题的时候定义了集合. 关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论 (最原始的集合论) 中的定义, 即集合是 "确定的一堆东西", 集合里的 "东西" 则称为元素. 现代的集合一般被定义为: 由一个或多个确定的元素所构成的整体.
1.1.1 集合的基本定义
具有某种性质的事物, 它们的全体称为一个集合(set, 简称为集). 这些事物称为这个集合的元素(element, 简称为元).
例如, 某一学校的学生组成一个集合. 某国的官员组成一个集合. 地球上的老鼠组成一个集合等等.
我们说两个集合相等，当且仅当它们包含的所有元素是一样的。
下面列举一些常见的数集(set of number), 数集被定义为复数集的子集（子集的概念见 1.1.2）:
全体自然数组成的集合可以记作 \(\mathbb{N}\).
全体正整数组成的集合可以记作 \(\mathbb{N^*},\mathbb{N^+},\mathbb{Z^+}\).
全体整数组成的集合可以记作 \(\mathbb{Z}\).
全体有理数组成的集合可以记作 \(\mathbb{Q}\).
全体实数组成的集合可以记作 \(\mathbb{R}\).
全体复数组成的集合可以记作 \(\mathbb{C}\).
在一部分书籍或文献中, 使用黑正体字母表示上述集合, 如 \(\mathbf{Z}\).
对于上述的集合, 可以在右上角加一个 \(+\), 表示取其中正的部分; 可以在右上角加一个 \(-\), 表示取其中负的部分; 可以在右上角加一个 \(*\), 表示去掉 \(0\) 的部分. 除了写在右上角, 右下角也是可以的.
例如: \(\mathbb{Z}_-\) 表示全体负整数组成的集合; \(\mathbb{Q}^{+}\) 表示全体正有理数组成的集合; \(\mathbb{R}_*\) 表示全体非 \(0\) 实数组成的集合.
对于特殊的数集, 我们采用手写粗体; 一般集合通常用大写字母, 元素通常用小写字母.
不含任何元素的集合, 称为空集, 通常记为 \(\varnothing\).
集合 \(A\) 中的元素，如果只有有限个，则称 \(A\) 为有限集(finite set)，否则称 \(A\) 为无限集(infinite set)（我们会在 1.6 给出更严谨的定义）.
用 \(|A|\) 表示有限集 \(A\) 中的元素个数，称为 \(A\) 的基数(cardinal number)（或 势(potential)）. 中学使用的记号是 \(\operatorname{card}(A)\). 无限集也有基数，在 1.6 中给出定义。
1.1.2 从属关系
如果事物 \(a\) 是集合 \(A\) 的元素, 那么就说 \(a\) 属于(in) \(A\) 或 \(a\) 在 \(A\) 中, 记为 \(a\in A\).
如果事物 \(a\) 不是集合 \(A\) 的元素, 那么就说 \(a\) 不属于(not in) \(A\) 或 \(a\) 不在 \(A\) 中, 记为 \(A\not\in A\).
表示集合通常有三种方法:
(1) 列举法. 将集合中的元素按照一定规律列出来, 比如 \(\{0,2,4,6,8\}\), \(\{1,2,3,\cdots\}\), \(\{\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots\}\).
(2) 描述法. 这种方法用的最多, 它只需要把集合中的元素满足的条件描述出来即可. 它的一般形式是 \(\{x|x\) 满足的条件 \(\}\). 例如, 小于 \(10\) 的偶自然数组成的集合可以表示为 \(\{x|x\) 是自然数且 \(x\) 是偶数且 \(x<10\}\).
有时, 为了避免竖线与其他记号重复, 我们也可用冒号代替竖线, 即 \(\{x:x\) 满足的条件 \(\}\).
描述法可以在左侧写出变量的限制域: 如 \(\{x\in\mathbb{N}|x\) 是偶数且 \(x<10\}\).
描述法的左侧不一定是一个变量, 也可以是关于这个变量的表达式: 如 \(\{2x:x\in\mathbb{N}\) 且 \(x<5\}\).
描述法也可以携带多个变量: 如 \(\{y:y=2x,x\) 是自然数且 \(x<5\}\), \(\{x^2+y^2:x,y\) 是整数 \(\}\).
描述法的左侧不一定是一个数: 如 \(\{(x,y):x,y\) 是整数 \(\}\).
(3) 迭代法. 迭代法又称归纳法. 首先给出这个集合的初始元素, 然后由集合中已有的元素构造出其他元素. 最后, 有限次使用前面的步骤得到的元素是集合中仅有的元素.
例如: 自然数集 \(\N\) 可以归纳定义如下（更严格的说法见 1.5）:
- \(0\in\N\)
- 若 \(n\in\N\)，则 \(n\) 的后继 \(n+1\in\N\)。
- 有限次使用前面的步骤得到的元素是 \(\N\) 中仅有的元素.
集合具有以下三个性质:
- 确定性: 元素的特征必须是确定的、客观的.
- 互异性: 集合中的元素互不相同，比如 \(\{1,1,2\}\) 就不是合法的集合.（从这一点可以延伸出可重集）
- 无序性: 集合中的元素没有顺序，比如 \(\{1,2,3\}\) 和 \(\{1,3,2\}\) 表示同样的集合.（从这一点可以延伸出有序集）
可重集和有序集不是标准的集合，也不在这个 blog 的讨论范围内.
需要注意的是，集合本身也可以是元素，例如 \(A=\{a,b,c,\{a,b\},d\}\) 是一个集合，它有 \(5\) 个元素 \(a,b,c,\{a,b\},d\)。
一个及其细微的差别是, 当我们说 \(a,b\in A\) 时, 默认 \(a,b\) 可以相同; 当我们说 \(a,b\) 是 \(A\) 的两个元素时, 默认 \(a,b\) 不能相同.
Venn 图是一种表示集合, 元素之间关系的图. 在 Venn 图中, 我们常用一个点表示元素, 一个圈表示集合, 圈内表示集合内的元素.
例如, 下面的 Venn 图表示一个集合 \(A\) 和一个元素 \(a\in A\).
1.1.3 包含关系
如果集合 \(A\) 的所有元素都在集合 \(B\) 中，那么称 \(A\) 是 \(B\) 的子集(subset)，记为 \(A\subseteq B\) 或 \(B\supseteq A\).
可读作 \(A\) 包含于 \(B\) 或 \(B\) 包含 \(A\).
如果集合 \(A\) 存在一个元素不在集合 \(B\) 中，那么称 \(A\) 不是 \(B\) 的子集，记为 \(A\not\subseteq B\) 或 \(B\not\supseteq A\).
可读作 \(A\) 不包含于 \(B\) 或 \(B\) 不包含 \(A\).
如果 \(A\subseteq B\), 在 Venn 图中通常画作 \(A\) 对应的圈在 \(B\) 对应的圈内.
如果 \(A\subseteq B\)，且 \(A\ne B\) 中，那么称 \(A\) 是 \(B\) 的真子集(proper subset)，记为 \(A\subset B\) 或 \(B\supset A\).
可读作 \(A\) 真包含于 \(B\) 或 \(B\) 真包含 \(A\).
旧的书上使用 \(\subset\) 表示现在的 \(\subseteq\), 使用 \(\subsetneqq\) 表示现在的 \(\subset\).
如果 \(A\not\subseteq B\)，或者 \(A=B\)，那么称 \(A\) 不是 \(B\) 的真子集，记为 \(A\not\subset B\) 或 \(B\not\supset A\).
可读作 \(A\) 不真包含于 \(B\) 或 \(B\) 不真包含 \(A\).（比较少用）
约定 \(\varnothing\) 为任何一个集合的子集.
例如: \(\mathbb{N\subset Z\subset Q\subset R\subset C}\).
\(\subseteq,\subset\) 分别称为 包含(inclusion) 和 真包含(proper inclusion) 关系.
\(\subseteq\) 是集合类上的的一个偏序关系, 即:
- \(A\subseteq A\);
- \(A\subseteq B,B\subseteq A\) 可以推出 \(A=B\);
- \(A\subseteq B,B\subseteq C\) 可以推出 \(A\subseteq C\).
其中的第二点尤其重要, 经常被用于证明两个集合相等.
\(\subset\) 是集合类上的的一个严格偏序关系, 即:
- \(A\not\subset A\);
- \(A\subset B,B\subset A\) 不同时成立;
- \(A\subset B,B\subset C\) 可以推出 \(A\subset C\).
对于两个有限集 \(A,B\), \(A\subseteq B\) 意味着 \(|A|\le|B|\), \(A\subset B\) 意味着 \(|A|<|B|\). 注意这对无限集并不成立.
1.1.4 集合的运算
1. 并与交
给定两个集合 \(A,B\)，称集合 \(C=\{c|c\in A\) 或 \(c\in B\}\) 为 \(A,B\) 的并集(union)或并，记作 \(A\cup B\)，读作 \(A\) 并 \(B\).
称集合 \(C=\{c|c\in A\) 且 \(c\in B\}\) 为 \(A,B\) 的交集(intersection)或交，记作 \(A\cap B\)，读作 \(A\) 交 \(B\).
上面 Venn 图中左边表示并, 右边表示交.
比如，\(A=\{1, 2\}, B=\{2, 3, 4\}\)，则 \(A\cup B=\{1, 2, 3, 4\}, A\cap B=\{2\}\).
显然，\(A\cap B\subseteq A, B\)，\(A, B\subseteq A\cup B\).
交, 并满足交换律和结合律, 以及互成分配律, 即 (下面的性质交换交和并也是成立的):
- \(A\cup B=B\cup A\);
- \((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\);
- \(A\cup(B\cap C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\).
交, 并和包含关系的一个重要性质是下面三个结论是等价的:
- \(A\subseteq B\);
- \(A\cap B=A\);
- \(A\cup B=B\).
也就是说, 当两个集合有包含关系时, 交集是其中较小的那个, 并集是其中较大的那个. 反之亦然.
由于 \(\varnothing\subseteq A, A\subseteq A\)，所以 \(A\cap\varnothing=\varnothing, A\cup\varnothing=A, A\cap A=A\cup A=A\).
如果 \(A\cap B=\varnothing\), 则称 \(A,B\) 是无交的(disjoint).
可以定义多个集合的交和并 (甚至可以定义无数个集合的交和并). 例如: \(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n=\bigcup\limits_{i=1}^nA_i\).
2. 差、补与对称差
称集合 \(C= \{c|c\in A\text{ 且 }C\not\in B\}\) 为 \(A\) 与 \(B\) 的差集(subtraction)或差, 记作 \(A-B\) 或者 \(A\backslash B\), 读作 \(A\) 减 \(B\) 或者 \(A\) 剔去 \(B\). 中学使用的记号是 \(\complement_A(B)\).
由定义可知, \(C=A-B\) 满足 \(C\subseteq A\) 与 \(C\cap B=\varnothing\).
例如: \(A=\{1, 2, 3\}, B = \{3, 4, 5\}\)，则 \(A-B=\{1, 2\}\)，\(B-A=\{4, 5\}\). 可以看出 \(-\) 不满足交换律.
为了方便研究问题, 常常把一个集合称为全集(universe)，通常记作 \(U\). 我们研究这个问题时的所有集合都包含于 \(U\). 全集的 Venn 图一般化作一个方框.
我们称集合 \(U-A\) 为 \(A\) 的补集(complement), 记作 \(\overline{A}\).
显然, \(\overline{\overline{A}}=A\); 如果 \(A,U\) 是有限集, 那么 \(|\overline{A}|=|U|-|A|\).
补集同样有一个很重要的定理, 称为德·摩根律:
\(\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B\), \(\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B\)
德·摩根律可以推广到多元: \(\overline{\bigcap\limits_{i\in I}A_i}=\bigcup\limits_{i\in I}\overline{A_i}\), \(\overline{\bigcup\limits_{i\in I}A_i}=\bigcap\limits_{i\in I}\overline{A_i}\).
对于集合 \(A, B\), 记 \(A\triangle B=(A-B)\cup(B-A)\), 称为 \(A\) 与 \(B\) 的对称差(symmetric difference). 有些书上记为 \(A\oplus B\), 称为 \(A\) 与 \(B\) 的环和(cycle sum). 对称差满足交换律和结合律.
例如: \(A=\{1, 2, 3\}, B = \{3, 4, 5\}\)，则 \(A\triangle B=\{1, 2, 4, 5\}\).
从左到右分别表示 \(A-B, \overline{A}, A\triangle B\).
3. 幂集
对于一个集合 \(A\), 它的所有子集构成的集合称为 \(A\) 的幂集(power set)，记作 \(P(A)\) 或 \(2^A\), 即 \(P(A)=\{X|X\subseteq A\}\)
显然, 对于有限集 \(A\)， \(|P(A)|=2^{|A|}\). 这或许也是记号 \(2^A\) 的由来.
对于集合 \(\mathcal{A}\subseteq P(A)\) (注意 \(\mathcal{A}\) 是一个由 \(A\) 的一部分子集组成的集合), 我们称其为 \(A\) 的一个子集族(collection)或集族. 子集族一般用花体字母.
例如:
当 \(A=\{1,2\}\) 时, \(P(A)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\).
当 \(A=\{1,2,3\}\) 时, \(\mathcal{A}=\{\{1\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}\) 就是它的一个子集族.
4. 笛卡尔积
\(n\) 个元素用括号括起来, 叫做有序 \(n\) 元组(ordered \(n\)-tuple), 简称为 \(n\) 元组(\(n\)-tuple).
例如：\((1, 2)\) 是一个 \(2\) 元组, \((x, A, \pi)\) 是一个 \(3\) 元组. \(2\) 元组常称为有序对(ordered pair).
也可以定义长度 (可数) 无限的元组，例如 \((1,2,3,\cdots)\).
* 事实上, 元组 \((a,b)\) 的定义是 \(\{\{a\},\{a,b\}\}\), 元组 \((a,b,c)\) 定义为 \(\{\{a\},\{a,b\},\{a,b,c\}\}\), ......, 无限元组 \((a_1,a_2,\cdots)\) 的定义是 \(\{\{a_1\},\{a_1,a_2\},\cdots\}\).
可以证明, 两个 \(n\) 元组 \((a_1,a_2,\cdots,a_n), (b_1,b_2,\cdots,b_n)\) 相等的要求是 \(a_1=b_1,a_2=b_2,\cdots,a_n=b_n\); 无限元组也是类似的.
* : 这里使用的列举法不要求元素互不相同, 会自动去重, 是本文唯一的一个特例.
定义 \(A\times B=\{(a, b)|a\in A, b\in B\}\), 称为 \(A\) 与 \(B\) 的笛卡尔积(Cartesian pruduct).
例如 \(A=\{1, 2\}, B=\{a, b, c\}\), 则 \(A\times B=\{(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)\}\).
不难发现, 有限集中 \(|A\times B|=|A|\times |B|\).
可以定义多个集合的笛卡尔积: \(A_1\times A_2\times\cdots A_n=\{(a_1, a_2, \cdots, a_n)|a_i\in A_i\}\).
甚至可以定义无限个集合的笛卡尔积: \(A_1\times A_2\times\cdots=\{(a_1, a_2, \cdots)|a_i\in A_i\}\).
对于多个相同的集合的笛卡尔积, 可以用指数符号. 比如: \(\mathbb{R^2=R\times R}\) 表示平面直角坐标系上所有的点; \(\mathbb{R^3=R\times R\times R}\) 表示空间直角坐标系上所有的点. 对于无限个相同的集合的笛卡尔积，指数上使用 \(\omega\), 例如 \(\mathbb{R^\omega=R\times R\times\cdots}\).
请注意 \(A\times B\times C\)，\((A\times B)\times C\) 和 \(A\times (B\times C)\) 是三个不一样的集合. 例如 \(A=\{a\},B=\{b\},C=\{c\}\) 时, 三个集合分别为 \(\{(a,b,c)\},\{((a,b),c)\},\{(a,(b,c))\}\).
1.1.5 划分和覆盖
对于一个集合 \(S\), 如果集合 \(A_i(i\in I)\) 满足 \(\bigcap\limits_{i\in I}A_i=S\), 并且 \(A_i\cap A_j=\varnothing(i,j\in I,i\ne j)\), 则称 \(\{A_i|i\in I\}\) 为 \(S\) 的可空划分.
例如: \(\{\{1\},\{2,3\},\{4,5,6\}\}\) 是 \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\) 的一个划分, 但 \(\{\{1\},\{2,3\},\{4,5\}\}\), \(\{\{1,2\},\{2,3\},\{4,5,6\}\}\) 不是 \(S\) 的划分.
在可空划分 \(\{A_i|i\in I\}\) 的基础上, 如果要求 \(A_i\ne\varnothing(i\in I)\), 则称其为不可空划分, 简称为划分(partition,division).
对于一个集合 \(S\), 如果集合 \(A_i(i\in I)\) 满足 \(\bigcap\limits_{i\in I}A_i=S\), 则称 \(\{A_i|i\in I\}\) 为 \(S\) 的可空覆盖. 如果还要求 \(A_i\ne\varnothing(i\in I)\), 则称其为不可空覆盖, 简称为覆盖(covering).
划分一定是一个覆盖, 但覆盖不一定是划分. 上述的 \(\{\{1,2\},\{2,3\},\{4,5,6\}\}\) 就是 \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\) 的一个覆盖.
1.2 映射
映射就是函数. 函数的概念在 17 世纪 30 年代物理学家研究曲线运动的时候就产生了, 但这个概念在 1673 年才由 G.W.Leibniz 开始使用, 而函数表达式 \(f(x)\) 在 1734 年才由 L.Euler 引入.
函数映射被用于描述两个集合之间的一个对应关系. 在初等数学和高等数学中，函数是指数集上的函数.
1.2.1 映射的基本定义
对于两个集合 \(A,B\), \(A\) 到 \(B\) 的映射(mapping)或函数(function) \(f\) 是指 \(A\times B\) 的一个子集, 满足对于所有 \(A\) 中的元素 \(a\), \(f\) 中恰有一个有序对的第一项是 \(a\).
如果 \(f\) 是 \(A\) 到 \(B\) 的映射, 那么记为 \(f:A\to B\). \(A\) 称为 \(f\) 的定义域(domain)，记为 \(\operatorname{dom} f\). 注意 \(B\) 不称为 \(f\) 的值域，集合 \(B'=\{b\in B|\)b\(\text{ 在 }f\text{ 的某个有序对中出现}\}\) 才被称为 \(f\) 的值域(range)，记为 \(\operatorname{ran} f\). 显然 \(B'\subseteq B\).
如果 \(a\) 所在的有序对是 \((a,b)\), 那么记为 \(f(a)=b\), 没有歧义的情况下可以记为 \(fa=b\) 或 \(a\to b\).
如果 \(f(a)=b\), 称 \(b\) 为 \(a\) 在映射 \(f\) 下的像(image)，\(a\) 为 \(b\) 在映射 \(f\) 下的原像(inverse image). 没有歧义的情况下可以省略“在映射 \(f\) 下”. \(A\) 中的元素 \(a\) 的像是唯一的, 但是 \(B\) 中的元素 \(b\) 的原像通常不是唯一的, 甚至有可能不存在.
例如, 当 \(A=\{1,2,3\},B=\{a,b,c\}\) 时, \(f=\{(1,a),(2,b),(3,a)\}\) 是一个 \(A\) 到 \(B\) 的映射, 它的值域是 \(\{a,b\}\).
\(f:A\to A\) 称为 \(A\) 的一个变换(transform).
对于集合 \(A'\subseteq A\)，记 \(f(A')=\{f(a)|a\in A'\}\). 注意这个记号不是良定义的, 需要谨慎使用.
例如: \(A=\{1,2,\{1,2\}\},B=\{a,b,c\},f=\{(1,a),(2,b),(\{1,2\},c)\}\) 时, \(f(\{1,2\})=c\). 但是根据此处的定义，\(f(\{1,2\})=\{a,b\}\).
对于集合 \(A,B\)，用 \(B^A\)（读作 \(B\) 上 \(A\)）表示所有 \(f:A\to B\) 构成的集合, 即 \(B^A=\{f|f:A\to B\}\).
对于有限集, \(|B^A|=|B|^{|A|}\).
回顾记号 \(2^A\), 它和 \(\{0,1\}^A\) 有没有什么联系呢? 答案是肯定的. 对于 \(A\) 的子集 \(A'\)，我们可以定义函数 \(f_{A'}:A\to\{0,1\}\), \(f_{A'}(a)=[a\in A']=\begin{cases}0,a\not\in A'\\1,a\in A'\end{cases}\), 称为集合 \(A'\) 的特征函数(characteristic function).
\(f:A_1\times A_2\times\cdots\times A_n\to B\) 称为 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 到 \(B\) 的 \(n\) 元函数(\(n\)-ary function).
对于任意的 \(a\in A_1\times A_2\times\cdots\times A_n\), 记 \(a=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\), 这时 \(f(a)=f((a_1,a_2,\cdots,a_n))=f(a_1,a_2,\cdots,a_n)\).
1.2.2 映射的性质
设 \(f:A\to B\), 如果对任意的 \(a_1,a_2\in A\), \(f(a_1)=f(a_2)\) 可以推出 \(a_1=a_2\), 那么称 \(f\) 是一个单射(injection).
具体地, 单射保证了 \(B\) 中每个元素 \(b\) 的原像至多有一个.
对有限集 \(A,B\), 若存在一个单射 \(f:A\to B\), 那么 \(|A|\le|B|\).
设 \(f:A\to B\), 如果对任意的 \(b\in B\), 存在 \(a\in A\) 使得 \(f(a)=b\), 那么称 \(f\) 是一个满射(surjection).
具体地, 满射保证了 \(B\) 中每个元素 \(b\) 的原像至少有一个.
对有限集 \(A,B\), 若存在一个满射 \(f:A\to B\), 那么 \(|A|\ge|B|\).
设 \(f:A\to B\), 如果 \(f\) 既是单射又是满射, 那么称 \(f\) 是一个双射(bijection), 或者称 \(f\) 是一个一一对应(one-to-one correspondence).
具体地, 双射保证了 \(B\) 中每个元素 \(b\) 的原像恰有一个.
对有限集 \(A,B\), 若存在一个双射 \(f:A\to B\), 那么 \(|A|=|B|\).
1.2.3 映射的运算
设 \(f:A\to B\) 是一个双射, 则 \(f^{-1}:B\to A\) 是这样的一个映射: 若 \(f(a)=b\), 则 \(f^{-1}(b)=a\). \(f^{-1}\) 称为 \(f\) 的逆映射(pre-image).
显然逆映射也是一个双射.
例如: \(A=\{1,2,3\},B=\{a,b,c\},f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\), 则 \(f^{-1}=\{(a,1),(b,2),(c,3)\}\).
设 \(f:A\to B,g:B\to C\), 则 \(h=g\circ f:A\to C\) 是一个这样的映射: \(h(a)=g(f(a))\). \(g\circ f\) 称为 \(g\) 和 \(f\) 的复合映射(composition).
一般来说, \(f\circ g\) 和 \(g\circ f\) 不一定都有意义; 就算都有意义, 也不保证 \(f\circ g=g\circ f\).
设 \(A\) 是集合, 若 \(f:A\to A\) 满足 \(f(a)=a\), 称 \(f\) 为 \(A\) 上的恒等映射(identity function), 记为 \(I_A\).
下述的几个结论非常重要:
- 若 \(f:A\to B\) 是双射, 则 \(f^{-1}\circ f=I_A,f\circ f^{-1}=I_B\); 特别地, 若 \(f:A\to A\) 是双射, 则 \(f^{-1}\circ f=f\circ f^{-1}=I_A\).
- 若 \(f,g\) 是单射, 则 \(g\circ f\) 是单射.
- 若 \(f,g\) 是满射, 则 \(g\circ f\) 是满射.
- 若 \(f,g\) 是双射, 则 \(g\circ f\) 是双射且 \((g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}\).
- 若 \(g\circ f\) 是单射, 则 \(f\) 是单射.
- 若 \(g\circ f\) 是满射, 则 \(g\) 是满射.
- 若 \(g\circ f\) 是双射, 则 \(f,g\) 是双射.
- \((h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)\). 这表明复合具有结合律, 多个映射的复合不需要加括号.
如果 \(f:A\to A\), 记 \(f^n=f^{n-1}\circ f\). 特别地 \(f^0=I_A\). 如果还有 \(f\) 是双射, 记 \(f^{-n}=(f^n)^{-1}\). 上述运算称为函数的幂(power).
函数的幂有以下结论:
- \(f^{m+n}=f^m\circ f^n\).
- \(f^{mn}=(f^m)^n\).
- \((f^n)^{-1}=(f^{-1})^n\).
设 \(f:A\to B\), 若 \(A'\subseteq A\), 定义 \(f|_{A'}:A'\to B\) 满足 \(f|_{A'}(a)=f(a)\), 称为 \(f\) 限制在 \(A'\) 上的映射，或简称为限制映射(limited function).
1.3 运算
运算是由已知的对象得出新对象的方法. 尽管运算和映射的本质相同, 但运算更侧重于运算满足的一些性质.
1.3.1 运算的定义
一个 \(n\) 元函数被称为 \(n\) 元运算(\(n\)-ary operation).
虽然运算的定义与函数, 映射无区别, 但是运算更侧重于它的性质, 从而可以对一些数学结构分类.
\(f:A^n\to B\) 称为 \(A\) 到 \(B\) 的 \(n\) 元运算.
\(f:A^n\to A\) 称为 \(A\) 上的 \(n\) 元封闭运算(closed operation).
\(A\) 上的恒等映射又被称为 \(A\) 上的恒等运算(identity operation).
实际上, 运算的符号不一定是字母, 还可以是 \(*,\oplus,\otimes,\triangle,\&,:,|,\cdot,\odot,\cup,\circ,\diamondsuit,\heartsuit,\clubsuit,\spadesuit\) 等, 但一定要把运算的含义说清楚.
运算符号既可以像函数符号一样写在最前面, 也可以写在中间或后面. 二元运算符号按习惯写在中间. 一元运算符号可以写在前面（如 \(\lnot x\)）, 可以置顶（如 \(\overline{x}\)）, 也可以写在肩上（如 \(x'\)）.
1.3.2 运算的性质
1. 对合性
设 \(*\) 是 \(A\) 上的一元运算, 如果对于任意 \(A\) 中的元素 \(a\), 都有 \(*(*a)=a\), 则称 \(*\) 运算具有对合性(involutive) 或 \(*\) 运算满足对合律.
2. 不动点
设 \(*\) 是 \(A\) 上的一元运算, 如果 \(A\) 中的元素 \(a\) 满足 \(*a=a\), 则称 \(a\) 是 \(*\) 运算的一个不动点(fixed point), 或称 \(*\) 运算固定(fix) \(a\).
3. 幂等性
设 \(*\) 是 \(A\) 上的二元运算, 如果 \(A\) 中的元素 \(a\) 满足 \(a*a=a\), 则称 \(a\) 是 \(*\) 运算的一个幂等元.
设 \(*\) 是 \(A\) 上的二元运算, 如果 \(A\) 中的元素 \(a\) 都是幂等元, 则称 \(*\) 运算具有幂等性(idempotent) 或 \(*\) 运算满足幂等律.
4. 交换性
设 \(*\) 是 \(A\) 上的二元运算, 如果对于任意 \(a,b\in A\), 都有 \(a*b=b*a\), 则称 \(*\) 运算具有交换性(commutative) 或 \(*\) 运算满足交换律.
5. 结合性
设 \(*\) 是 \(A\) 上的二元运算, 如果对于任意 \(a,b,c\in A\), 都有 \((a*b)*c=a*(b*c)\), 则称 \(*\) 运算具有结合性(associative) 或 \(*\) 运算满足结合律.
具有结合性的运算，多个元素参与运算可以不加括号.
6. 幺元律
设 \(*\) 是 \(A\) 上的二元运算, 如果存在 \(A\) 中的元素 \(e\), 使得对于任意 \(a\in A\), 都有 \(e*a=a*e=a\), 则称 \(e\) 为 \(A\) 关于运算 \(*\) 的 幺元(identity element) 或单位元, \(*\) 运算满足幺元律.
满足 \(e*a=a\) 的元素 \(e\) 称为左幺元, 满足 \(a*e=a\) 的元素 \(e\) 称为右幺元.
幺元如果存在, 则是唯一的.
7. 零元律
设 \(*\) 是 \(A\) 上的二元运算, 如果存在 \(A\) 中的元素 \(e\), 使得对于任意 \(a\in A\), 都有 \(\theta*a=a*\theta=\theta\), 则称 \(\theta\) 为 \(A\) 关于运算 \(*\) 的 幺元(zero element), \(*\) 运算满足零元律.
满足 \(\theta*a=\theta\) 的元素 \(\theta\) 称为左零元, 满足 \(a*\theta=\theta\) 的元素 \(\theta\) 称为右零元.
零元如果存在, 则是唯一的.
8. 幂零性
设 \(*\) 是 \(A\) 上的二元运算, 且有零元 \(\theta\). 如果 \(A\) 中的元素 \(a\) 满足 \(a*a=\theta\), 则称 \(a\) 是 \(*\) 运算的一个幂零元.
设 \(*\) 是 \(A\) 上的二元运算, 且有零元 \(\theta\). 如果 \(A\) 中的元素 \(a\) 都是幂零元, 则称 \(*\) 运算具有幂零性(nilpotent) 或 \(*\) 运算满足幂零律.
9. 逆元性
设 \(*\) 是 \(A\) 上的二元运算, 且有幺元 \(e\). 如果 \(A\) 中的元素 \(a,b\) 满足 \(a*b=e\), 则称 \(a\) 是 \(b\) 在 \(*\) 运算下的一个左逆元, \(b\) 是 \(a\) 在 \(*\) 运算下的一个右逆元. 若 \(b\) 既是 \(a\) 的左逆元, 又是 \(a\) 的右逆元, 则称 \(b\) 是 \(a\) 的逆元(invertible element).
注意 \(a\in A\) 的逆元（或左逆元, 右逆元）不一定存在, 存在也不一定唯一. 如果对于任意 \(A\) 中的元素 \(a\) 都存在逆元, 则称运算 \(*\) 具有逆元性.
一个重要的结论: 若运算 \(*\) 满足结合律, \(a\) 在这个运算下有逆元, 则这个逆元是唯一的.
若 \(a\) 有唯一的逆元, 则这个逆元记为 \(a^{-1}\).
10. 消去性
设 \(*\) 是 \(A\) 上的二元运算. 如果 \(a,b,c\in A\) 只要满足 \(c*a=c*b\), 就有 \(a=b\), 则称 \(*\) 运算具有左消去性, 或 \(*\) 运算满足左消去律;
如果 \(a,b,c\in A\) 只要满足 \(a*c=b*c\), 就有 \(a=b\), 则称 \(*\) 运算具有右消去性, 或 \(*\) 运算满足右消去律.
如果 \(*\) 运算具有左消去性和右消去性, 则称 \(*\) 运算具有消去性(cancellation), 或 \(*\) 运算满足消去律.
11. 分配性
设 \(*,\circ\) 是 \(A\) 上的两个二元运算. 如果对于任意 \(a,b,c\in A\), 都有 \(c*(a\circ b)=(c*a)\circ(c*b)\), 则称 \(*\) 对 \(\circ\) 具有左分配性, 或 \(*\) 对 \(\circ\) 满足左分配律;
如果对于任意 \(a,b,c\in A\), 都有 \((a\circ b)*c=(a*c)\circ(b*c)\), 则称 \(*\) 对 \(\circ\) 具有右分配性, 或 \(*\) 对 \(\circ\) 满足右分配律.
如果 \(*\) 对 \(\circ\) 具有左分配性和右分配性, 则称 \(*\) 对 \(\circ\) 具有分配性(distributive), 或 \(*\) 对 \(\circ\) 满足分配律.
12. 吸收性
设 \(*,\circ\) 是 \(A\) 上的两个二元运算. 如果对于任意 \(a,b\in A\), 都有 \(a*(a\circ b)=a\), 则称 \(*\) 对 \(\circ\) 具有左吸收性, 或 \(*\) 对 \(\circ\) 满足左吸收律;
如果对于任意 \(a,b\in A\), 都有 \((a\circ b)*b=b\), 则称 \(*\) 对 \(\circ\) 具有右吸收性, 或 \(*\) 对 \(\circ\) 满足右吸收律.
如果 \(*\) 对 \(\circ\) 具有左吸收性和右吸收性, 则称 \(*\) 对 \(\circ\) 具有吸收性(absorptive), 或 \(*\) 对 \(\circ\) 满足吸收律.
1.4 关系
在生活中有许多的关系, 如父子关系, 师生关系. 在数学中也存在有大于关系, 平行关系, .... 为了数学和计算机科学的需要, 我们需要关系这一数学模型.
1.4.1 关系的定义
设 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 是集合, \(A_1\times A_2\times\cdots A_n\) 的任意子集 \(R\) 称为 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 之间的 \(n\) 元关系(\(n\)-ary relation).
如果 \(A_1=A_2=\cdots=A_n=A\), 则称上面的关系为 \(A\) 上的 \(n\) 元关系.
\(\varnothing\) 被称为空关系, \(A_1\times A_2\times\cdots A_n\) 被称为全关系.
关系除了可以使用字母，还可以使用符号，如 \(>,\ge,\sqsupset,\sim,\succ\) 等.
最重要的关系是二元关系. 对于 \(A,B\) 上的二元关系 \(R\), 如果 \((x,y)\in R\), 我们可以记为 \(xRy\).
对于二元关系 \(R\subseteq A\times B\), \(R\) 的定义域是所有 \(xRy\) 中 \(x\) 构成的集合, 即: \(\operatorname{dom} R=\{x|\text{存在 }y\text{ 使得 }xRy\}\).
同理, \(R\) 的值域定义为 \(\operatorname{ran} R=\{y|\text{存在 }x\text{ 使得 }xRy\}\).
1.4.2 关系的运算
0. 关系的并, 交, 差, 补, 对称差
关系本身是集合, 对于关系 \(R,S\), 自然可以定义 \(R\cup S,R\cap S,R-S,\overline{R},R\triangle S\). 注意对于关系 \(R\), 它的全集就是 \(A_1\times A_2\times\cdots A_n\), 即 \(\overline{R}=A_1\times A_2\times\cdots A_n-R\).
1. 关系的逆
设 \(R\subseteq A\times B\), \(R\) 的逆关系(inverse) \(R^{-1}\subseteq B\times A\) 定义为: \(R^{-1}=\{(y,x)|(x,y)\in R\}\).
关系的逆有以下结论:
- \((R^{-1})^{-1}=R\).
- \((R\cup S)^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}\).
- \((R\cap S)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1}\).
- \(\overline{R^{-1}}=\overline{R}^{-1}\).
2. 关系的复合
设 \(R\subseteq A\times B,S\subseteq B\times C\), \(R,S\) 的复合关系(composition) \(R\circ S\subseteq A\times C\) 定义为: \(R\circ S=\{(x,z)|\text{存在 }y\text{ 使得 }(x,y)\in R,(y,z)\in S\}\).
一般来说, \(R\circ S\) 和 \(S\circ R\) 不一定都有意义; 就算都有意义, 也不保证 \(R\circ S=S\circ R\).
设 \(A\) 是集合, 若 \(R\subseteq A\times A\), \(R=\{(a,a)|a\in A\}\), 称 \(R\) 为 \(A\) 上的恒等关系(identity relation), 记为 \(I_A\).
关系的复合下述的结论:
- \(R^{-1}\circ R=I_B,R\circ R^{-1}=I_A\); 特别地, 若 \(R\subseteq A\times A\), 则 \(R^{-1}\circ R=R\circ R^{-1}=I_A\).
- \((R\circ S)\circ T=R\circ(S\circ T)\). 这表明复合具有结合律, 多个关系的复合不需要加括号.
如果 \(R\subseteq A\times A\), 记 \(R^n=R^{n-1}\circ R\). 特别地 \(R^0=I_A\); 记 \(R^{-n}=(R^n)^{-1}\). 上述运算称为关系的幂(power).
关系的幂有以下结论:
- \(R^{m+n}=R^m\circ R^n\).
- \(R^{mn}=(R^m)^n\).
- \((R^n)^{-1}=(R^{-1})^n\).
设 \(R\subseteq A\times A\), 若 \(A'\subseteq A\), 定义 \(R|_{A'}\subseteq A'\times A'\) 满足 \(R|_{A'}=\{(x,y)\in R|x,y\in A'\}\), 称为 \(R\) 限制在 \(A'\) 上的关系，或简称为限制关系(limited relation).
1.4.3 关系的性质
以下的所有性质均针对 \(A\) 上的二元关系 \(R\).
1. 自反性
若对于任意的 \(a\in A\), \(aRa\) 均成立, 则称 \(R\) 为 \(A\) 上的自反关系(reflexive relation), 或 \(R\) 在 \(A\) 上具有自反性.
显然, \(R\) 具有自反性等价于 \(I_A\subseteq R\).
对任意的关系 \(R\), 包含 \(R\) 的最小的自反关系 \(S\) 称为 \(R\) 的自反闭包(reflexive closure), 记为 \(S=rc(R)\).
显然, \(rc(R)=R\cup I_A\).
2. 反自反性
若对于任意的 \(a\in A\), \(aRa\) 均不成立, 则称 \(R\) 为 \(A\) 上的反自反关系(irreflexive relation), 或 \(R\) 在 \(A\) 上具有反自反性.
显然, \(R\) 具有反自反性等价于 \(R\cap I_A=\varnothing\).
3. 对称性
若对于任意的 \(a,b\in A\), 若 \(aRb\), 则 \(bRa\), 则称 \(R\) 为 \(A\) 上的对称关系(symmetric relation), 或 \(R\) 在 \(A\) 上具有对称性.
对任意的关系 \(R\), 包含 \(R\) 的最小的对称关系 \(S\) 称为 \(R\) 的对称闭包(symmetric closure), 记为 \(S=sc(R)\).
\(sc(R)=R\cup R^{-1}\).
4. 反对称性
若对于任意的 \(a,b\in A\), 若 \(aRb,bRa\), 则 \(a=b\), 则称 \(R\) 为 \(A\) 上的反对称关系(antisymmetric relation), 或 \(R\) 在 \(A\) 上具有反对称性.
5. 传递性
若对于任意的 \(a,b,c\in A\), 若 \(aRb,bRc\), 则 \(aRc\), 则称 \(R\) 为 \(A\) 上的传递关系(transitive relation), 或 \(R\) 在 \(A\) 上具有传递性.
对任意的关系 \(R\), 包含 \(R\) 的最小的传递关系 \(S\) 称为 \(R\) 的传递闭包(transitive closure), 记为 \(S=tc(R)\).
\(tc(R)=\bigcup_{i=1}^{+\infty}R^i\). 特别地, 若 \(A\) 为有限集, 则 \(+\infty\) 可改为 \(|A|\). 这个公式是 Floyd-Warshall 算法的基础.
6. 等价关系
若关系 \(R\) 具有自反性, 对称性和传递性, 则称 \(R\) 为 \(A\) 上的等价关系(equivalent relation).
等价关系常用记号 \(\sim,\equiv,\cong\).
\(I_A\) 是等价关系.
若 \(R\) 是等价关系, 对于所有 \(x\in A\), 记 \([x]_R=\{y|y\in A\text{ 且 }xRy\}\), 称为 \(x\) 关于关系 \(R\) 所在的等价类(equivalent class). 没有歧义的情况下可以记为 \([x]\).
显然 \(x\in[x]\)
结论：对于所以 \(x,y\in A\), 要么 \([x]=[y]\), 要么 \([x]\cap[y]=\varnothing\).
说明 \(\{[x]|x\in A\}\) 是 \(A\) 的一个划分, 称为 \(R\) 的等价类划分, 或者 \(A\) 关于 \(R\) 的商集(quotient set), 记为 \(A/R\).
6. 相容关系
若关系 \(R\) 具有自反性, 对称性, 则称 \(R\) 为 \(A\) 上的相容关系(compatible relation)或相似关系(similar relation).
相容关系常用记号 \(\approx\).
等价关系是相容关系.
若 \(R\) 是相容关系, 如果集合 \(B\in A\) 满足 \(B\) 中的任意两个元素 \(x,y\) 都有 \(xRy\), 则称 \(B\) 是一个相容类(compatible class). 如果对于所有集合 \(C\) 满足 \(B\subset C\subseteq A\), 都有 \(C\) 不是相容类, 则称 \(B\) 为极大相容类(maximal compatible class).
7. 偏序关系
若关系 \(R\) 具有自反性, 反对称性和传递性, 则称 \(R\) 为 \(A\) 上的偏序关系(partially ordered relation), \(A\) 在偏序关系 \(R\) 上构成一个偏序集(partially ordered set, poset), 记为 \((A,R)\).
偏序关系常用记号 \(\le,\preceq,\ge,\succeq\).
若关系 \(R\) 具有反自反性, 反对称性(注: 如果 \(R\) 满足反自反性和传递性, 那么 \(R\) 一定具有反对称性, 这个条件是多余的)和传递性, 则称 \(R\) 为 \(A\) 上的严格偏序关系(strictly partially ordered relation).
严格偏序关系常用记号 \(<,\prec,>,\succ\).
如果 \(R\) 是偏序关系, 那么 \(R-I_A\) 是严格偏序关系, 称为 \(R\) 诱导的严格偏序关系; 如果 \(R'\) 是严格偏序关系, 那么 \(R'\cup I_A\) 是偏序关系, 称为 \(R'\) 诱导的偏序关系. 偏序关系和严格偏序关系可以相互诱导.
设 \((A,\le)\) 是偏序集, 如果 \(x,y\in A\) 满足 \(x\le y\) 和 \(y\le x\) 至少有一个成立, 则称 \(x,y\) 是可比的(comparable).
若偏序关系 \(\le\) 满足: 对于所有 \(x,y\in A\), \(x,y\) 都是可比的, 则称 \(\le\) 为 线性序关系(lineary ordered relation) 或 全序关系(totally ordered relation).
设 \((A,\le)\) 是偏序集, 如果 \(x,y\in A\) 满足:
- \(x\ne y\).
- \(x\le y\).
- 不存在 \(z\in A\) 使得 \(x\le z\le y\).
则称 \(y\) 覆盖(cover) \(x\).
设 \((A,\le)\) 是偏序集, 如果 \(B\subseteq A\) 满足: 对于所有 \(x,y\in B\), \(x,y\) 都是可比的, 则称 \(B\) 是一条链(chain). 或者说, 如果 \(\le|_B\) 是全序关系, 则称 \(B\) 是一条链.
设 \((A,\le)\) 是偏序集, 如果 \(B\subseteq A,x\in A\) 满足: 对于所有 \(x,y\in B\), \(x,y\) 都是不可比的, 则称 \(B\) 是一条反链(antichain).
设 \((A,\le)\) 是偏序集, 如果 \(B\subseteq A,x\in A\) 满足: 对于所有 \(y\in B\), 都有 \(x\le y\), 则称 \(x\) 是 \(B\) 的下界(lower bound). 如果还有 \(x\in B\), 则称 \(x\) 是 \(B\) 的最小值(least value), 记为 \(x=\min B\).
设 \((A,\le)\) 是偏序集, 如果 \(B\subseteq A,x\in A\) 满足: 对于所有 \(y\in B\), 都有 \(y\le x\), 则称 \(x\) 是 \(B\) 的上界(lupper bound). 如果还有 \(x\in B\), 则称 \(x\) 是 \(B\) 的最大值(greatest value), 记为 \(x=\max B\).
设 \((A,\le)\) 是偏序集, \(B\subseteq A\), \(B\) 的最大下界(\(B\) 的所有下界构成的集合的最大值)称为 \(B\) 的下确界(greatest lower bound, infimum), 记为 \(\inf B\); \(B\) 的最小上界称为 \(B\) 的上确界(least upper bound, supremum), 记为 \(\sup B\).
设 \((A,\le)\) 是偏序集, 如果 \(B\subseteq A,x\in A\) 满足: 对于所有 \(y\in B,y\le x\), 都有 \(y=x\), 则称 \(x\) 是 \(B\) 的极小值(minimum).
设 \((A,\le)\) 是偏序集, 如果 \(B\subseteq A,x\in A\) 满足: 对于所有 \(y\in B,x\le y\), 都有 \(y=x\), 则称 \(x\) 是 \(B\) 的极大值(maximum).
上界和下界统称为界(bound), 最大值和最小值统称为最值(most value), 上确界和下确界统称为确界(definite bound), 极大值和极小值统称为极值(extremum).
一个集合的界, 最值, 确界, 极值都不一定存在. 除最值外, 其他量就算存在也不一定唯一.
如果 \(A\) 是一个有限集, 对于任意一个偏序关系 \(R\), 存在一个全序关系 \(R'\) 使得 \(R\subseteq R'\). 这个过程被称为拓扑排序.
1.5 自然数集
1.5 和 1.7 重定义(事实上, 严谨地定义)了自然数, 实数等数学基础内容, 属于拓展内容
自然数, 就是大家熟知的 \(0,1,2,\cdots\). 它的形成和性质都源于我们的经验. 随着数学的发展, "自然数是什么" 这一问题就摆在了数学家面前. 可以说 "自然数" 是整个数学的基础, 如果这个基础有问题, 数学的可靠性就有了疑问. 1889 年, 意大利数学家 G.Peano 给出了一种定义自然数的公理, 被沿用了下来, 就是我们接下来要介绍的皮亚诺公理.
1.5.1 皮亚诺公理
皮亚诺公理 自然数(natural number)集 \(\N\) 是一个集合, 满足:
- \(0\in\N\).
- 存在一个 \(\N\) 上的函数 \(+\). \(+(n)\) 记作 \(n^+\), 称为 \(n\) 的后继(successor).
- \(0\) 不是任意元素的后继.
- 任意一个元素都最多是一个元素的后继, 即若 \(a^+=b^+\), 则 \(a=b\).
- (归纳公理) 设 \(S\subseteq\N\), \(0\in S\). 如果对于所有 \(n\in S\), \(n^+\in S\), 则 \(S=\N\).
注: 上世纪, 中国的数学很多时候是跟随英国的, 此时的自然数集不包含 \(0\) (即自然数集就是现在的正整数集, 从 \(1\) 开始). 进入 21 世纪后, 自然数的定义是跟随美国的，此时的自然数集包含 \(0\). 你也许会在一些古老的教材或题目中发现不包含 \(0\) 的自然数集. 即使到了现在, 也有人认为 \(0\) 不应该算作自然数, 因为 \(0\) 不是一个很"自然"的数.
定理 1.5.1 对任意的 \(n\in\N\)，有 \(n\ne n^+\).
证明: 设 \(\N\) 中所有满足 \(n\ne n^+\) 的元素 \(n\) 构成集合 \(S\). 由公理 3 知 \(0\in S\). 设 \(n\in S\), 若 \(n^+\not\in S\), 则 \(n^+=(n^+)^+\). 由公理 4 知 \(n=n^+\), 与 \(n\in S\) 矛盾. 所以 \(n^+\in S\). 由公理 5 知 \(S=\N\).
定理 1.5.2 对任意的 \(n\in\N,n\ne0\)，有唯一的 \(m\in\N\) 使得 \(m^+=n\), 这个 \(m\) 称为 \(n\) 的前驱(precursor), 记为 \(n^-\).
证明: 设 \(\N\) 中所有满足 \(n=0\) 或存在前驱的元素 \(n\) 构成集合 \(S\). 显然 \(0\in S\). 设 \(n\in S\), 则 \(n^+\in S\), 由公理 5 知 \(S=\N\), 再由公理 4 知对存在前驱的元素 \(n\), 它的前驱是唯一的.
定理 1.5.3 (归纳原理) 设 \(P(n)\) 是一个关于 \(n\) 的性质或命题. 如果 \(P(0)\) 成立且 \(P(n)\) 成立可以推出 \(P(n^+)\) 成立, 则 \(P(n)\) 对所有自然数 \(n\) 都成立.
证明: 设 \(\N\) 中所有满足 \(P(n)\) 的元素 \(n\) 构成集合 \(S\). 显然 \(0\in S\). 设 \(n\in S\), 则 \(n^+\in S\), 由公理 5 知 \(S=\N\).
1.5.2 加法和乘法
定理 1.5.4 自然数集上存在唯一的二元运算 \(+\), 满足:
- 对任意的 \(n\in\N\), 有 \(n+0=n\);
- 对任意的 \(n,m\in\N\), 有 \(n+m^+=(n+m)^+\).
证明：为此我们需要一个引理.
引理 1.5.5 对于任意的自然数 \(n\), 存在唯一的函数 \(f_n:\N\to\N\), 满足:
- \(f_n(0)=n\).
- 对任意的 \(m\in\N\), 有 \(f_n(m^+)=f_n(m)^+\).
证明： 设所有 \(f_n(m^+)\) 的值唯一确定的自然数 \(m\) 构成集合 \(S\), 由公理 5 知 \(S=\N\).
回到定理 1.5.4, 先证存在性, 可取 \(n+m=f_n(m)\). 再证唯一性, 设 \(+,\olpus\) 是两个满足题目要求的运算, 当 \(m=0\) 时, 对所有的 \(n\in\N\), 有 \(n+0=n\oplus0=n\). 若对 \(m\in\N\) 有, 有对所有的 \(n\in\N\), 有 \(n+m=n\oplus m\), 则 \(n+m^+=(n+m)^+=(n\oplus m)^+=n\oplus m^+\), 从而 \(m^+\) 也满足这个性质. 所以, 对于所有的 \(n,m\in\N\), 有 \(n+m=n\oplus m\).
可以归纳证明, 自然数集上的加法满足交换律, 结合律和消去律, \(0\) 为其单位元.
定理 1.5.6 自然数集上存在唯一的二元运算 \(\times\), 满足:
- 对任意的 \(n\in\N\), 有 \(n\times0=0\);
- 对任意的 \(n,m\in\N\), 有 \(n\times m^+=n\times m+m\).
证明概要：同样考虑一个引理:
引理 1.5.7 对于任意的自然数 \(n\), 存在唯一的函数 \(g_n:\N\to\N\), 满足:
- \(g_n(0)=0\).
- 对任意的 \(m\in\N\), 有 \(g_n(m^+)=g_n(m)+m\).
可以归纳证明: 自然数集上的乘法具满足交换律, 结合律, 以及对加法的分配律, \(0\) 为其零元, \(0^+\) 为其单位元.
1.5.3 大小关系
在自然数集上，可以定义如下的关系:
设 \(a,b\in\N\), 定义 \(a\le b\)（或记为 \(b\ge a\)）表示存在 \(x\in\N\) 使得 \(a+x=b\), 称为 \(a\) 小于等于 \(b\) (或 \(b\) 大于等于 \(a\)).
定理 1.5.8 \(\le\) 是一个全序关系.
证明: 只需要证明以下四点:
- \(a\le a\).
- \(a\le b,b\le a\) 可以推出 \(a=b\).
- \(a\le b,b\le c\) 可以推出 \(a\le c\).
- \(a\le b,b\le a\) 至少有一个成立.
1 的证明: \(a+0=a\).
2 的证明: 设 \(a+x=b,b+y=a\), 则 \(a+x+y=a(=a+0)\). 由加法的消去律知 \(x+y=0\).
如果 \(y\ne0\), 那么 \(y\) 有前驱 \(y^-\), 由加法的定义 2(对任意的 \(n,m\in\N\), 有 \(n+m^+=(n+m)^+\).), 所以 \(x+y=x+(y^-)^+=(x+y^-)^+=0\), 说明 \(0\) 有前驱 \(x+y^-\), 矛盾. 故 \(y=0\), \(a=b+y=b\).
3 的证明: 设 \(a+x=b,b+y=c\), 则 \(a+x+y=c\).
4 的证明: 固定 \(a\), 对 \(b\) 归纳证明 \(a,b\) 是可比的. 由于 \(0+a=a\), 故 \(0\le a\). 如果 \(a,b\) 是可比的, 分两类证明 \(a,b^+\) 是可比的:
- \(a\le b\), 此时设 \(a+x=b\), 则 \(a+x^+=b\).
- \(b\le a,b\ne a\), 此时设 \(b+x=a\), \(x\ne0\), 则 \(b^++x^-=a\).
因此, 由 \(\le\) 可以诱导出一个严格偏序关系 \(<\) (同理 \(\ge\) 可以诱导出 \(>\)).
大小关系和运算有以下结论:
定理 1.5.9 (自然数的离散性) 对任意 \(a\in\N\), 不存在 \(b\in\N\) 使得 \(a<b<a^+\). 等价地, \(a<b\) 等价于 \(a^+\le b\).
证明:
定理 1.5.10 (最小自然数原理) 自然数集合 \(\mathbb{N}\) 的任意非空子集必有最小元素存在, 即存在自然数 \(t_0\in T\), 使得对任意的 \(t\in T\), 必有 \(t_0\le t\).
证明:
定理 1.5.11 (最大自然数原理)
1.5.4 负整数
如果自然数 \(x\ne0\), 我们称 \(x\) 是正整数(positive integer).
对于自然数 \(x\ne0\), 记 \(-x\) 为 \(x\) 的相反数(opposite number). 特别地, \(-0=0\). 再记 \(-(-x)=x\).
设 \(x\) 是正整数, 则称 \(-x\) 为负整数.
由所有自然数和所有负整数构成的集合称为整数(integer)集, 记为 \(\Z\).
我们要推广自然数集上的前驱后继, 加法和乘法, 大小关系, 同时引入减法和绝对值的概念.
1. 前驱与后继
设 \(a\) 是整数, 按以下两类定义后继:
- \(a\) 是自然数, 此时 \(a^+\) 就是自然数意义下的后继.
- \(a\) 是负整数, 设 \(a=-x\), 定义 \(a^+=-(x^-)\). 由于 \(x\ne0\), 这个定义是合理的.
与自然数集不同, 对任意的 \(n\in\Z\)，都有唯一的 \(m\in\Z\) 使得 \(m^+=n\), 这个 \(m\) 称为 \(n\) 前驱, 记为 \(n^-\).
2. 加法与减法
设 \(a,b\) 是整数, 按以下三类定义加法:
- \(a,b\) 都是自然数, 此时 \(a+b\) 就是自然数意义下的加法.
- \(a,b\) 都是负整数, 设 \(a=-x, b=-y\), 此时定义 \(a+b=-(x+y)\).
- \(a,b\) 一个是自然数, 一个是负整数, 不妨设 \(a\) 是自然数, \(b=-y\) 是负整数. 如果 \(y\le a\), 设 \(y+d=a\), 定义 \(a+b=b+a=d\); 如果 \(a<y\), 设 \(a+d=y\), 定义 \(a+b=b+a=-d\).
由定义, 整数集上的加法的交换律是显然的. 可以通过分类讨论证明其结合性. \(0\) 依然是加法的单位元, 而且对任意的 \(x\in\Z\), \(x\) 有唯一的逆元 \(-x\).
定义 \(a-b=a+(-b)\). 减法不具有大部分运算的性质.
3. 乘法
设 \(a,b\) 是整数, 按以下三类定义乘法:
- \(a,b\) 都是自然数, 此时 \(a\times b\) 就是自然数意义下的加法.
- \(a,b\) 都是负整数, 设 \(a=-x, b=-y\), 此时定义 \(a\times b=x\times y\).
- \(a,b\) 一个是自然数, 一个是负整数, 不妨设 \(a\) 是自然数, \(b=-y\) 是负整数, 此时定义 \(a\times b=b\times a=-(a\times y)\).
可以同样证明乘法具有交换律, 结合律, 以及对加法的分配律. \(0\) 依然是乘法的零元, \(0^+\) 依然是乘法的单位元.
\(0^+,0^-\) 是唯一拥有逆元的的两个元素. 特别地, \(0^-\times x=-x\).
4. 绝对值
设 \(a\) 是整数, 按以下两类定义绝对值 \(|a|\):
- \(a\) 是自然数, 此时定义 \(|a|=a\).
- \(a\) 是负整数, 此时定义 \(|a|=-a\).
5. 大小关系.
设 \(a,b\in\Z\), 定义 \(a\le b\)（或记为 \(b\ge a\)）表示存在 \(x\in\N\) 使得 \(a+x=b\), 称为 \(a\) 小于等于 \(b\) (或 \(b\) 大于等于 \(a\)).
整数集上的 \(\le\) 也是一个全序关系.
1.5.5 进位制
由初等数论的知识(整数集已经严格定义, 因此初等数论的诸多结果都是成立的), 对于任意的自然数 \(n>0\) 和 \(d>0^+\), 存在唯一的自然数 \(k\) 使得 \(d^k\le n<d^{k^+}\); 存在唯一的自然数 \(a_0,a_{0^+},\cdots,a_k<d\) 使得 \(n=a_0+a_{0^+}d+a_{(0^+)^+}d^{(0^+)^+}+\cdots+a_kd^k\). 记 \(n=(\overline{a_ka_{k^-}\cdots a_0})_d\), 称为 \(n\) 的 \(d\) 进制表示. 特别地, \(0=(0)_d\).
我们最常用的是十进制, 也就是 \(d=(((((((((0^+)^+)^+)^+)^+)^+)^+)^+)^+)^+\) 时的表示, 可以证明所有小于 \(d\) 的自然数只有 \(0,1=0^+,2=1^+,3=2^+,4=3^+,5=4^+,6=5^+,7=6^+,8=7^+,9=8^+\), 而且还有 \(d=9^+\). \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\) 被称为十进制数字(digit).
十进制表示下可以省略 \(()_d\).
如果所有 \(a_i\) 再用具体的十进制数字表示, 那么上划线也可以省略.
例如 \(n=(\overline{abc})_d\) 可以简化为 \(n=\overline{abc}\), \(n=\overline{123}\) 还可以简化为 \(n=123\). 在十进制下, \(d=10\).
(终于可以说人话了/tx)
对于负整数 \(a=-x\), 和自然数 \(d>0^+\), 设 \(x=(\overline{a_ka_{k-1}\cdots a_0})_d\), 则可记 \(a=-(\overline{a_ka_{k-1}\cdots a_0})_d=(-\overline{a_ka_{k-1}\cdots a_0})_d\).
1.5.6 有理数
我们在 \(\Z\times\Z^*\) 中定义一个关系: 设 \((a,b),(x,y)\in\Z\times\Z^*\), 则 \((a,b)~(x,y)\) 当且仅当 \(a\times y=b\times x\).
不难验证这个关系是等价关系. 我们称 \(\Z\times\Z^*\) 除以这个等价关系的商集为有理数集, 记为 \(\mathbb{Q}\).
为了满足 \(\Z\in\mathbb{Q}\), 对于整数 \(n\in\N\), 我们可以认为它作为有理数时, 表示 \((n,1)\) 所在的等价类.
对于 \((a,b)\in\Z\times\Z^*\), 我们可以用 \(\dfrac{a}{b}\) 表示 \((a,b)\) 所在的等价类.
由初等数论的知识, 存在唯一的 \((p,q)\in\Z\times\Z^+,p\perp q\) (\(p,q\) 互素) 使得 \((a,b)~(p,q)\). 此时 \(\dfrac{p}{q}\) 称为 \(\dfrac{a}{b}\) 的最简表示(simplest expression)或既约表示(irreducible expression).
例如: \(\dfrac{-9}{-15}\) 的最简表示为 \(\dfrac{3}{5}\), \(\dfrac{1}{-7}\) 的最简表示为 \(\dfrac{-1}{7}\), \(2\) 的最简表示为 \(\dfrac{2}{1}\), \(0\) 的最简表示为 \(\dfrac{0}{1}\).
加法和减法
\(\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{x}{y}=\dfrac{a\times y\pm bx}{x\times y}\)
乘法, 逆元和除法
\(\dfrac{a}{b}\times\dfrac{x}{y}=\dfrac{a\times x}{b\times y}\)
在乘法下, 除 \(0\) 以外的有理数都有唯一的逆元, \(\dfrac{a}{b}\) 的逆元是 \(\dfrac{b}{a}\).
\(\dfrac{a}{b}/\dfrac{x}{y}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{y}{x}=\dfrac{a\times y}{b\times x}\)
大小关系
设 \(b,y>0\), \(\dfrac{a}{b}\le\dfrac{x}{y}\) 当且仅当 \(a\times y\le b\times x\).
正有理数, 负有理数和绝对值
如果有理数 \(\dfrac{a}{b}>0\), 我们称为正有理数; 如果有理数 \(\dfrac{a}{b}<0\), 我们称为负有理数;
对于非负有理数 \(\dfrac{a}{b}\), 定义 \(|\dfrac{a}{b}|=\dfrac{a}{b}\); 对于负有理数 \(\dfrac{a}{b}\), 定义 \(|\dfrac{a}{b}|=-\dfrac{a}{b}\).
1.6 有限集与无限集
1.6.1 有限集
1.6.2 可数集与不可数集
1.6.3 选择公理
1.7 实数集
1.7.1 实数理论与极限论
1.7.2 实直线上的点集
1.7.3 复数
2 逻辑
2.1 命题逻辑
2.1.1 逻辑联结词
2.1.2 命题公式
2.1.3 逻辑等值的命题公式
2.1.4 命题公式的范式
2.1.5 逻辑联结词的完备性
2.1.6 命题逻辑的推理
2.2 谓词逻辑
2.2.1 个体, 谓词, 量词和函词
2.2.2 谓词公式
2.2.3 逻辑等值的谓词公式
2.2.4 谓词公式的范式
2.2.5 谓词逻辑的推理
3 初等数学内容
3.1 集合
3.1.1 和集合有关的恒等式
3.1.2 容斥原理
3.2 映射
3.2.1 构造映射
3.2.2 函数方程
3.3 有限集的子集
3.3.1 奇偶子集
3.3.2 三元子集族
3.3.3 分拆和覆盖
3.4 子集族理论
3.4.1 S 族
3.4.2 链
3.4.3 族的分拆
3.4.4 I 族
3.4.5 影和荫
3.4.6 H 族
3.4.7 上族与下族
4 抽象代数基础
4.1 群
4.1.1 置换
4.1.2 群
4.1.3 陪集, 商群
4.1.4 群的作用
4.2 环
4.2.1 环和域
4.2.2 环的理想, 商环
4.2.3 环和域的扩张
4.2.4 整环中的数论
4.3 偏序集与格
5 公理集合论
5.1 ZF 公理
5.2 选择公理
参考书籍
[0] 单墫. 集合与对应. 上海: 上海科技教育出版社, 2021.6
[1] 邓辉文. 离散数学. 4版. 北京: 清华大学出版社, 2019(2021.8 重印)
[2] 潘承洞, 潘承彪. 初等数论. 3版. 北京: 北京大学出版社, 2013.1
[3] 夏道行, 吴卓人, 严绍宗, 舒五昌. 实变函数论与泛函分析. 上册. 北京: 高等教育出版社, 2010.1(2023.2 重印)
[4] Rotman,J.J. Advanced Modern Algebra. New York: Prentice Hall, 2002
[5] 潘承洞, 潘承彪. 代数数论. 2版. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2014.1
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