卡特兰数&斯特林数

卡特兰数

引入

不妨从找规律开始。
下标从\(0\)开始，卡特兰数的前几项为：

1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790…

那么通过认真的瞪眼观察，会发现它们满足递推关系。

关于

卡特兰数是一个很常见的数列。它并没有一个足够具体的意义，但诸多问题中都出现了与之相符的数学规律。
比起组合数的用形式规范问题，它更像是用诸多例子来勾勒出的形式。

下面根据几个实际的问题模型来讨论卡特兰数。

通项公式

\[C(n) = \tbinom{2n}{n}-\tbinom{2n}{n+1} \]

问题

1. 给定\(n\times n\)的网格图。问，从左下角走到右上角，且不越过\(x=y\)对角线的方案数。

等价问题

2. \(n\)个左括号和\(n\)个右括号的括号匹配的方案数。
   括号匹配：任意前缀中，左括号数量不小于右括号数量。

3. \(1\)到\(n\)依次入栈，可能的不同出栈序列数量。

4. \(n\)个无编号节点构成的区别左右儿子的有根二叉树数量。

5. \(2n+1\)个无编号节点构成的左右儿子有区别的有根真二叉树数量。

证明：因为懒得写了（其实是不会），所以推荐参考%%%sto这篇otz%%%

变形

\[C(n) = \frac{1}{n+1} \tbinom{2n}{n} \\ C(n) = \frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^{n}\tbinom{n}{i}^2 \]

递推公式

对于\(n \ge 2\)，有：

\[C(n)=\sum_{i=1}^{n} C(i-1)C(n-i) \]

问题

尤其是一些凸多边形问题

1. 已知一个凸\(n\)边形，将其三角剖分，问可能的方案数。

2. 已知一个凸\(n\)边形，在其顶点上插入钉子，在钉子间缠绕若干橡皮筋，问使橡皮筋不相交的方案数。

等价问题

3. \(n\)个无编号节点构成的区别左右儿子的有根二叉树数量。

4. 用若干个矩形构成\(n\)级楼梯，且每个矩形的右下角都作为一级楼梯的组成，问可能的方案数。

证明

类似动态规划中的转移方程，略。

另一个递推公式

\[C(n) = \frac{4n-2}{n+1}\times C(n-1) \]

斯特林数

就是斯特林数。

第一类斯特林数

记作\(s(n,m)\)，或者\({n}\brack{m}\)。
表示将\(n\)个不同元素划分为\(m\)个相同的非空轮换的方案数。

轮换：首尾相接的环形排列，例如\([A,B,C,D]=[B,C,D,A]\)。

性质

\[n! = \sum_{i=0}^{n} {n\brack i} \]

考虑等式左边表示排列数，右边表示轮换数。

一个排列可以唯一对应一个置换（也就是唯一对应一组轮换），故等式成立。

递推式

对于\(m>0\)，有：

\[{n\brack m} = \sum \begin{cases} {n-1 \brack m-1} &,Case1\\ (n-1)\times {n-1\brack m }&,Case2 \end{cases} \]

特别地，

• 当\(n>0\)，则\({n\brack 0} = 0\)；
• 当\(n=0\)，则\({0\brack 0} = 0\)。

通过考虑第\(n\)个元素的状况来推导：

Case1：第\(n\)个元素为单独的一个轮换。
Case2：第\(n\)个元素加入前面某个轮换，此时有\(n-1\)种加入方式。

计算同行

构造出一行中斯特林数的生成函数。

\[F_n(x) = \prod_{i=0}^{n-1}(x+i) = \frac{(x+n-1)!}{(x-1)!} \]

也就是\(x\)的\(n\)次上升幂。

关于写这篇的时候，还不太会NTT，所以先放博客在这里，学会了回来补充细节，。

计算同列

类似求同行的办法，单个轮换的生成函数为：

\[F(x) = \sum_{i=1}^n (i-1)!\frac{x^i}{i!} \]

第二类斯特林数

记作\(S(n,m)\)，或者\(n\brace m\)。
表示将\(n\)个不同的元素划分为\(m\)个相同非空集的方案数。

性质

\[n^m = \sum_{i=0}^m i!\times{m\brace i}{n\choose i} \]

考虑等式左边表示\(m\)个不同元素放入\(n\)个不同集合
等式右边枚举非空集的数量为\(i\)，再\(i!\)区分非空集，然后把\(m\)个元素放入\(i\)个“相同”非空集。
故等式成立。

递推式

\[{n\brace m} = {n-1\brace m-1} + m{n-1\brace m} \]

特别地，

• 当\(n>0\)，则\({n\brace 0} = 0\)；
• 当\(n=0\)，则\({0\brace 0} = 0\)。

类似第一类斯特林数的递推式推导：
考虑第\(n\)个元素是否单独为一个非空集合。

通项公式

\[{n\brace m} = \frac{1}{m!}\sum_{i=0}^m (-1)^k (m-i)^n {m\choose i}\\ \]

也就是：

\[{n\brace m}=\sum_{i=0}^m \frac{(-1)^{m-i}i^n}{i!(m-i)!} \]

利用容斥原理。

枚举空集的数目\(i\)，剩下的集合可以随意放置。
考虑到集合相同，最后要除\(m!\)。