[总结] 第一类斯特林数

第一类斯特林数

$\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}$ ，将 $n$ 个元素划分为 $m$ 个圆排列的方案数。

递推

递推式可以枚举最后一个元素是否放一个新的排列：$\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix}+(n-1)\times \begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix}$

下面用 $s(n,m)$ 表示 $\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}$。

性质

$$\begin{aligned}n!=\sum_{i=0}^n s(n,i)\end{aligned}$$

证明：考虑其组合意义。一个排列唯一对应一个置换，而一个置换唯一对应一组轮换。比如排列 $(1,5,2,3,4)$，就可以看作轮换组 $[1][2,5,4][3]$。如果两个排列不同，那他们对应的轮换中，必定有一个元素的下一个元素不同，故排列与轮换一一对应。所以等式右侧的式子就是有 $0\sim n$ 个轮换的方案数。

求法

现在要快速求出第一类斯特林数的某一行。

直接给出定义，$s(n,*)$ 这东西的生成函数等于 $\prod\limits_{i=0}^{n-1} (x+i)$，也就是 $x$ 的 $n$ 次上升幂。

于是就可以分治$\mathrm{NTT}$来求了，复杂度 $O(n\log^2 n)$。具体实现用$\mathrm{vector}$比较好写。

当然也可以 $O(n\log n)$。

令 $F_n(x)=\prod\limits_{i=0}^{n-1}(x+i)$，则$F_{2n}(x)=F_n(x)\times F_n(x+n)$。

考虑如何用 $F_n(x)$ 快速求出 $F_{n}(x+n)$。

设 $F_n(x)=\sum_\limits{i=0}^{n-1}a_ix^i$

$$\begin{aligned}F_n(x+n)=&\sum_{i=0}^{n} a_i(x+n)^i\\=&\sum_{i=0}^{n} a_i\times \sum_{j=0}^i C_i^jn^{i-j}x^j\\=&\sum_{i=0}^{n} x^i\times \sum_{j=i}^{n}C_j^in^{j-i}a_j\\=&\sum_{i=0}^{n}x^i\times \sum_{j=i}^{n}\frac{j!}{i!(j-i)!}n^{j-i}a_j \end{aligned}$$

所以设 $F_n(x+n)=\sum\limits_{i=0}^{n-1} b_ix^i,c_i=i!\times a_i,d_i=\frac{n^i}{i!}$ ，那么

$$b_i\times i!=\sum_j c_j\times d_{j-i}$$

把 $d$ 翻转以后是一个标准的卷积式子，直接倍增就好了。

实现的小细节就是，如果当前长度 $len$ 为奇数，不能除以 $2$，所以直接递归 $len-1$ ，然后回来之后乘上 $(x+len-1)$ 就行了。