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# 浅谈伯努利数与$\mathcal{Riemann}\,\zeta$函数 ## 伯努利数 先给出伯努利数的生成函数定义 $$ \frac{x}{e^x-1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k}{k!}x^k $$ 可以用麦克劳林公式计算前几项伯努利数 $$ \begin{a 阅读全文
posted @ 2023-06-13 18:18
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# $\sin{x}$无穷乘积式的应用 我们知道 $$ \mathrm{sinc}\,x=\frac{\sin{x}}{x }= \prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\cfrac{x^2}{k^2\pi^2}\right) $$ 由这个式子可以推出一个有趣的结论. 代入$x=\d 阅读全文
posted @ 2023-06-13 18:18
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# 巴塞尔级数的一个小结论 已知 $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6} $$ 经过运算得 $$ \left(1-\frac{1}{2^2} \right )\sum 阅读全文
posted @ 2023-06-13 18:17
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# $\sin{x}$的无穷乘积式 观察以下两个式子: $$ \boxed{\begin{aligned} &\sin{3x}=3\sin{x}-4\sin^3{x}\\ &\sin{5x}=5\sin{x}-20\sin^3{x}+16\sin^5{x}\\ &\cdots \end{aligne 阅读全文
posted @ 2023-06-13 18:17
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# 类似巴塞尔级数的一个级数 我们知道，所有正整数倒数的平方和的倒数收敛于一个固定的值： $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots=\frac{\pi^2 阅读全文
posted @ 2023-06-13 18:16
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# $\pi$和$e$是无理数的证明 ## 证明$\pi$是无理数 用反证法，假设 $$ \pi=\frac{q}{p} $$ $$ p,q \in \mathbb{Z}^+ $$ 构造函数 $$ f(x)=\frac{x^n(q-px)^n}{n!}=\frac{p^n x^n(\pi-x)^n} 阅读全文
posted @ 2023-06-13 18:16
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# 泰勒公式 ## 引入 我们知道，当$x \to 0$时，有 $$\sin{x}\thicksim x $$ $$e^x \thicksim x+1$$ 然而，当$\left\lvert x \right\rvert$较大时，这些近似公式就变得不准确. 所以，我们就想要构造一个更精确的多项函数来近 阅读全文
posted @ 2023-06-13 18:15
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# $\sum_{i=1}^{n}{i^k}$的求和公式 #### 本文给出两种解法. ## 第一种解法 先给出递推公式: 求和公式一: $$S_k(n)=\frac{n^{k+1}}{k+1}-\frac{1}{k+1} \sum_{i=0}^{k-1}(-1)^{k-i}\binom{k+1}{ 阅读全文
posted @ 2023-06-13 18:14
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本文涉及一元三次、四次方程的解法。一元四次方程是有求根公式的最高次方程（这里的求根公式指用\(+\),\(-\),\(\times\),\(\frac{m}{n}\),\(\sqrt[k]{t}\)符号表示的公式） ，但其推导颇为复杂，所以接下来不妨先从一元三次方程入手。 解这个方程： \[a x^ 阅读全文
posted @ 2023-06-13 18:13
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