泰勒公式
引入
我们知道，当\(x \to 0\)时，有
\[\sin{x}\thicksim x
\]
\[e^x \thicksim x+1
\]
然而，当\(\left\lvert x \right\rvert\)较大时，这些近似公式就变得不准确.
所以，我们就想要构造一个更精确的多项函数来近似表示一些函数.
我们假设一个函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某邻域\(U(x_0)\)能近似表达为这样一个多项式
\[P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n
\]
并且满足当\(x \to x_0\)时\(P_n(x)\)与\(f(x)\)之差仅为比\((x-x_0)^n\)高阶的无穷小.
假设\(P_n(x)\)在\(x_0\)处的\(n\)阶导数都依次等于\(f(x_0),f'(x_0),f''(x_0),\cdots,f^{(n)}{(x_0)}\)，即满足
\[f^{(n)}{(x)}=n!\text{ }a_n+(n+1)!\text{ }a_{n+1}(x-x_0)+\frac{(n+2)!}{2!}\text{ }a_{n+2}(x-x_0)^2+\cdots
\]
\[\therefore f^{(n)}{(x_0)}=n!\text{ }a_n
\]
\[a_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}{(x_0)}
\]
将这个系数代入\(P_n(x)\),可以得到
\[P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}{(x_0)}}{n!}(x-x_0)^n
\]
泰勒公式一
若函数\(f(x)\)在\(x_0\)处存在\(n\)阶导数，那么\(\exists \text{ } U(x_0)\)，对于$\forall \text{ } x \in U(x_0) $，有
\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}{(x_0)}}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)
\]
\[=\sum_{i=0}^{n}\frac{f^{(n)}{(x_0)}}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)
\]
其中
\[R_n(x)=o((x-x_0)^n)
\]
证明：
记\(R_n(x)=f(x)-P_n(x)\)，则
\[R_n(x_0)=R_n'(x_0)=R_n''(x_0)=\cdots=R_n^{(n)}{(x_0)}=0
\]
因为\(f(x)\)在\(x_0\)处有\(n\)阶导数，所以\(f(x)\)必在\(x_0\)某邻域中\((n-1)\)阶可导，\(R_n(x)\)也在该邻域内\((n-1)\)阶可导，反复运用洛必达法则，得到
\[\begin{aligned}
& \lim_{x \to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}\\
= & \lim_{x \to x_0}\frac{R_n'(x)}{n(x-x_0)^{n-1}}\\
= & \lim_{x \to x_0}\frac{R_n''(x)}{n(n-1)(x-x_0)^{n-2}}\\
= & \cdots \\
= & \lim_{x \to x_0}\frac{R_n^{(n-1)}{(x)}}{n!(x-x_0)}\\
= & \frac{1}{n!} \lim_{x \to x_0}\frac{R_n^{(n-1)}{(x)}-R_n^{(n-1)}{(x_0)}}{x-x_0} \\
= & \frac{1}{n!} R^{(n)}{(x_0)}=0
\end{aligned}
\]
\[\mathbf{Q} .\mathbf{E} .\mathbf{D}
\]
在此公式中，\(R_n(x)\)被称为佩亚诺余项，虽然它是\(o((x-x_0)^n)\)，但它不能具体估计误差大小。下面的公式就解决了这个问题.
泰勒公式二
若函数\(f(x)\)在\(x_0\)处存在\((n+1)\)阶导数，那么\(\exists \text{ } U(x_0)\)，对于$\forall \text{ } x \in U(x_0) $，有
\[f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}{(x_0)}}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)
\]
其中
\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}{(\xi)}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
\]
且\(\xi\)是在\(x_0\)和\(x\)之间的一个数.
证明该公式需要用到两个的定理.
两个引证
引证1:
若函数\(f(x)\)满足:
(1)在\([a,b]\)上连续;
(2)在\((a,b)\)上可导;
(3)\(f(a)=f(b)\)
那么在\((a,b)\)内至少有一点\(\xi\)使得\(f'(\xi)=0\)
这定理可由费马引理得出，这里不证.
引证2:
若函数\(f(x)\),\(F(x)\)满足:
(1)在\([a,b]\)上连续;
(2)在\((a,b)\)上可导
那么在\((a,b)\)内至少有一点\(\xi\)使等式
\[\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}
\]
成立
证明：
构造辅助函数
\[\varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F(x)
\]
注意到
\[\varphi(a)=\frac{f(a)F(b)-f(b)F(a)}{F(b)-F(a)}
\]
\[\varphi(b)=\frac{f(a)F(b)-f(b)F(a)}{F(b)-F(a)}
\]
\[\therefore \varphi(a)=\varphi(b)
\]
所以\(\varphi(x)\)符合罗尔定理的条件，所以必有一点\(\xi \in (a,b)\)，使得等式
\[\varphi'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F'(\xi)=0
\]
成立.
即
\[\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}
\]
\[\mathbf{Q} .\mathbf{E} .\mathbf{D}
\]
泰勒公式二的证明
回到泰勒公式二的证明，我们有
\[R_n(x_0)=R_n'(x_0)=R_n''(x_0)=\cdots=R_n^{(n)}{(x_0)}=0
\]
对函数\(R_n(x)\)和函数\((x-x_0)^{n+1}\)使用柯西中值定理(它们显然符合柯西中值定理的条件).
\[\frac{R_n{x}}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{R_n(x)-R_n(x_0)}{(x-x_0)^{n+1}-0}=\frac{R_n'(\xi_1)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n}\text{($\xi_1$在$x_0$与$x$之间)}
\]
同理可得
\[\frac{R_n'(\xi_1)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n}=\frac{R_n(\xi_2)}{(n+1)n(\xi_2-x_0)^{n-1}}\text{($\xi_2$在$x_0$与$\xi_1$之间)}
\]
一直像这样进行下去，直到
\[\frac{R_n{x}}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{R_n^{(n+1)}{(\xi)}}{(n+1)!}\text{($\xi$在$x_0$与$x$之间)}
\]
\[\because P_n^{(n+1)}(x)=0
\]
\[\therefore R_n^{(n+1)}{(\xi)}=f^{(n+1)}{(\xi)}
\]
\[\therefore R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}{(\xi)}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\text{($\xi$在$x_0$与$x$之间)}
\]
\[\mathbf{Q} .\mathbf{E} .\mathbf{D}
\]
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