i^k的求和公式

\(\sum_{i=1}^{n}{i^k}\)的求和公式

本文给出两种解法.

第一种解法

先给出递推公式:
求和公式一:

\[S_k(n)=\frac{n^{k+1}}{k+1}-\frac{1}{k+1} \sum_{i=0}^{k-1}(-1)^{k-i}\binom{k+1}{i} S_i(n) \]

\[(k\in \mathbb{Z}^{+} ) \]

其中

\[S_k(n)=\sum_{i=1}^{n}i^k \]

证明：

根据二项式定理，注意到

\[\begin{aligned} n^{k+1}-(n-1)^{k+1}= & \sum_{i=0}^{k} (-1)^{k-i} \binom{k+1}{i} n^i \\ (n-1)^{k+1}-(n-2)^{k+1}= & \sum_{i=0}^{k} (-1)^{k-i} \binom{k+1}{i} (n-1)^i \\ \vdots \\ 1^{k+1}-0^{k+1}= & \sum_{i=0}^{k} (-1)^{k-i} \binom{k+1}{i} 1^i \end{aligned} \]

将这些等式全部相加，可以得到

\[n^{k+1}=\sum_{i=1}^{k} \left [(-1)^{k-i} \binom{k+1}{i} \sum_{j=1}^{n}j^i \right ] \]

亦即

\[n^{k+1}=\sum_{i=1}^{k} (-1)^{k-i} \binom{k+1}{i} S_i(n) \]

\[\therefore (k+1) S_k(n)=n^{k+1}-\sum_{i=1}^{k-1} (-1)^{k-i} \binom{k+1}{i} S_i(n) \]

\[\therefore S_k(n)=\frac{n^{k+1}}{k+1}-\frac{1}{k+1} \sum_{i=0}^{k-1}(-1)^{k-i}\binom{k+1}{i} S_i(n) \]

\[(k\in \mathbb{Z}^{+} ) \]

\[\mathbf{Q}.\mathbf{E} .\mathbf{D} \]

接下来我们就可以用此递推公式解\(S_1(n)\),\(S_2(n)\)，$\cdots $
易得\(S_0(n)=n\),

\[\begin{aligned} \therefore S_1(n)= & \frac{n^2}{2}-\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{0}(-1)^{1-i}\binom{2}{i}S_i(n) \\ = & \frac{n^2}{2}-\frac{1}{2}(-1)^1 S_0(n)\\ =& \frac{n^2}{2}+\frac{n}{2} \end{aligned} \]

同理可解得\(S_2(n)\)为：

\[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

第二种解法

下面提供一种方法不同但结论相似的解法
求和公式二:

\[S_k(n)=(n+1)S_{k-1}(n)-\sum_{i=1}^{n}S_{k-1}(i) \]

\[(k\in \mathbb{Z}^{+} ) \]

其中

\[S_k(n)=\sum_{i=1}^{n}i^k \]

证明：

将该级数的各项写成下面的形式：

\[\begin{aligned} & 1^k\\ &1^k\text{ }\text{ } 2^k\\ & 1^k\text{ }\text{ }2^k\text{ }\text{ }3^k\\ & \vdots\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\vdots\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\ddots\\ & 1^k\text{ }\text{ }2^k\text{ }\text{ }3^k\text{ } \cdots \text{ }n^k \end{aligned} \]

可以得到，所有行的和为：

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}j^k \]

所有列的和为

\[\sum_{t=1}^{n}(n-t+1)t^k \]

根据所有行的和等于所有列的和，可以得到

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}j^k=\sum_{t=1}^{n}(n-t+1)t^k \]

\[\therefore \sum_{i=1}^{n}S_k(i)=(n+1)S_k(n)-S_{k+1}(n) \]

将\(k+1\)写成\(k\),得到

\[S_k(n)=(n+1)S_{k-1}(n)-\sum_{i=1}^{n}S_{k-1}(i) \]

\[(k\in \mathbb{Z}^{+} ) \]

\[\mathbf{Q}.\mathbf{E} .\mathbf{D} \]