浅谈伯努利数与黎曼ζ函数

浅谈伯努利数与\(\mathcal{Riemann}\,\zeta\)函数

伯努利数

先给出伯努利数的生成函数定义

\[\frac{x}{e^x-1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k}{k!}x^k \]

可以用麦克劳林公式计算前几项伯努利数

\[\begin{aligned} &B_0=1\\ &B_1=-1/2\\ &B_2=1/6\\ &B_3=0\\ &B_4=-1/30\\ &B_5=0\\ &\cdots \end{aligned} \]

可以发现几个显然的规律，接下来依次将证明

一.

\[\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}B_k=0 \]

\(Proof\):

根据伯努利数的定义，可以得到

\[\begin{aligned} x&=(e^x-1)\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k}{k!}x^k\\ &=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k}{k!}x^k\\ &=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i+1}}{(i+1)!}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k}{k!}x^k\\ \end{aligned} \]

根据两级数的柯西乘积

\[\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot\sum_{n=0}^{\infty}b_n=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}a_nb_{n-k} \]

可以得到

\[\begin{aligned} x&=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i+1}}{(i+1)!}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k}{k!}x^k\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{n+1-k}}{(n+1-k)!}\cdot\frac{B_k}{k!}x^k\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!}B_k\cdot\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}B_k\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\\ \end{aligned} \]

对照等式两边的系数即可得到

\[B_0=1,\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}B_k=0 \]

二.

\[B_{2k+1}=0\quad(k\geqslant1) \]

\(Proof\):

构造函数

\[\begin{aligned} g(x)&=\frac{x}{e^x-1}-B_1x\\ &=\frac{x}{e^x-1}+\frac{1}{2}x\\ &=\frac{2x+x(e^x-1)}{2(e^x-1)}\\ &=\frac{x(e^x+1)}{2(e^x-1)}\\ &=\frac{x(e^x+1)}{2(e^x-1)}\cdot\frac{e^{-x/2}}{e^{-x/2}}\\ &=\frac{x(e^{x/2}+e^{-x/2})}{2(e^{x/2}-e^{-x/2})} \end{aligned} \]

显然\(g(x)\)使偶函数，所以麦克劳林展开式中的奇次项系数都为零，也就是

\[B_{2k+1}=0\quad(k\geqslant1) \]

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\(\mathcal{Riemann}\,\zeta\) 函数

在引入 \(Riemann\,\zeta\) 函数前，我们需要用刚才伯努利数的结论推一些式子.

回到刚才的\(g(x)\).

\[\begin{aligned} g(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_{2n}}{(2n)!}x^{2n}\\ &=\frac{x}{2}\coth{\frac{x}{2}}\\ \end{aligned} \]

这也就推出了

\[\coth{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \]

令\(x=ix\).

\[\cot{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n4^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \]

根据恒等式

\[2\coth{2x}-\coth{x}=\tanh{x} \]

可以得到

\[\tanh{x}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^n(4^n-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \]

同样的，令\(x=ix\)，可得

\[\tan{x}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}4^n(4^n-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \]

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终于可以给出\(Riemann\,\zeta\)函数的定义

\[\zeta(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^z}=\frac{1}{1^z}+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}+\cdots\quad(z\in\mathbb{C}) \]

只有将偶数代入这个函数才有精确值，下面对\(\zeta(2n)\)的公式进行推导.

根据这篇文章，我们知道

\[\frac{\sin{\pi x}}{\pi x }= \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\cfrac{x^2}{n^2}\right) \]

两边取对数

\[\ln\frac{\sin{\pi x}}{\pi x }= \sum_{n=1}^{\infty}\ln{\left(1-\cfrac{x^2}{n^2}\right)} \]

两边求导（过程省略）

\[\begin{aligned} &\pi\cot{\pi x}-\frac{1}{x}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{x-n}+\frac{1}{x+n}\right)\\ &\cot{x}=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{x-n\pi}+\frac{1}{x+n\pi}\right) \end{aligned} \]

将分式展开

\[\begin{aligned} \cot{x}&=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\pi n}\left(\frac{1}{1+\cfrac{x}{\pi n}}-\frac{1}{1-\cfrac{x}{\pi n}}\right)\\ &=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\pi n}\left[\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{x}{\pi n}\right)^k-\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{x}{\pi n}\right)^k\right]\\ &=\frac{1}{x}-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\pi n}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{x}{\pi n}\right)^{2k-1}\\ &=\frac{1}{x}-2\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{2k-1}}{(\pi n)^{2k}}\\ &=\frac{1}{x}-2\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{2k-1}}{\pi^{2k}}\cdot\frac{1}{n^{2k}}\\ &=\frac{1}{x}-2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{2k-1}}{\pi^{2k}}\cdot\zeta(2k) \end{aligned} \]

我们又知道

\[\begin{aligned} \cot{x}&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k4^kB_{2k}}{(2k)!}x^{2k-1}\\ &=\frac{1}{x}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k4^kB_{2k}}{(2k)!}x^{2k-1} \end{aligned} \]

也就是说

\[\frac{1}{x}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k4^kB_{2k}}{(2k)!}x^{2k-1}=\frac{1}{x}-2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{2k-1}}{\pi^{2k}}\cdot\zeta(2k) \]

对比等式两边\(x^{2k-1}\)的系数即得

\[\begin{aligned} \zeta(2k)&=\frac{(-1)^k4^kB_{2k}\pi^{2k}}{2(2k)!}\\ &=\frac{2^{2k-1}\lvert B_{2k}\rvert\pi^{2k}}{(2k)!} \end{aligned} \]

我们也就推出了\(\zeta(2k)\)的通项

\[\boxed{\zeta(2k)=\frac{2^{2k-1}\lvert B_{2k}\rvert\pi^{2k}}{(2k)!}} \]

代入\(k\)的前几个值

\[\begin{aligned} &\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}\qquad\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\\ &\zeta(6)=\frac{\pi^6}{945}\qquad\zeta(8)=\frac{\pi^8}{9450}\\ &\zeta(10)=\frac{\pi^{10}}{93555}\qquad\zeta(12)=\frac{691\pi^{12}}{638512875} \end{aligned} \]