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有限差分法

摘要：什么是有限差分法有限差分法是指用泰勒技术展开式将变量的导数写成变量，在不同时间或空间点值的差分形式的方法。有限差分法的基本思想[1] 按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖分成若干网格，用未知函数在网格结(节)点上的值所构成的差分近似代替所用偏微分方程中出现的各阶导数，从而把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数方程，然后解此线性代数方程组，以求出溶质在各网格结(节)点上不同时刻的浓度。有限差分法的基本步骤（1）剖分渗流区，确定离散点。将所研究的水动力弥散区域按某种几何形状(如矩形、任意多边形等)剖分成网络系统。（2）建立水动力弥散问题的差分方程组。（3）求解差分方... 阅读全文

posted @ 2012-01-15 23:01 无忧consume 阅读(1931) 评论(0) 推荐(0) |

基本形式(ffundamental form)(first sencond)

摘要：第一基本形式在微分几何中，第一基本形式（first fundamental form）是三维欧几里得空间中一个曲面的切空间中内积，由R3中标准点积诱导。它使得曲面的曲率和度量性质（比如长度与面积）可与环绕空间一致地计算。第一基本形式用罗马数字I 表示：设X(u,v) 是一个参数曲面，则两个切向量的内积为这里E,F,与G是第一基本形式的系数。第一基本形式可以表示为一个对称矩阵当第一基本形式写成一个参数时，它表示向量与自己的内积，记一步的记号第一基本形式写成现代记法的度量张量。系数则可以写做gij：这个张量的分量是切向量X1与X2的数量积：对i,j= 1, 2。具体例子可见下一节。计算长度与面积第阅读全文

posted @ 2011-12-24 22:51 无忧consume 阅读(1490) 评论(0) 推荐(1) |

外代数

摘要：外代数在数学上，给定向量空间V的外代数(英文：exterior algebra)，也称格拉斯曼代数(Grassmann algebra)，是特定有单位的结合代数，它包含V为一个子空间。它记为 Λ(V) 或 Λ•(V)而它的乘法，称为楔积或外积，记为∧。楔积是结合的和双线性的；其基本属性是它在V上交替：，对于所有向量这表示，对于所有向量，以及，当线性相关时。注意这三个性质只对V中向量成立，不对代数Λ(V)中所有向量成立。外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。Λ(V)的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。形式为v1 阅读全文

posted @ 2011-12-24 21:53 无忧consume 阅读(1583) 评论(0) 推荐(0) |

Harmonic map (调和映射)

摘要：Harmonic mapThis article is about harmonic maps between Riemannian manifolds. For harmonic functions, seeharmonic function.A (smooth) map φ:M→NbetweenRiemannian manifoldsMandNis calledharmonicif it is acritical pointof theDirichlet energyfunctionalThis functionalEwill be defined precisely below—one 阅读全文

posted @ 2011-12-24 15:48 无忧consume 阅读(937) 评论(0) 推荐(0) |

雅可比矩阵

摘要：雅可比矩阵在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。还有，在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以发音为[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]。雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。雅可比矩阵假设F:Rn→Rm是一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数。这个函数由m个实函数组成: y1(x1,...,xn), . 阅读全文

posted @ 2011-12-22 21:49 无忧consume 阅读(1476) 评论(0) 推荐(1) |

差分

摘要：差分，又名差分函数或差分运算，是数学中的一个概念。它将原函数映射到。差分运算，相应于微分运算，是微积分中重要的一个概念。前向差分差分的定义分为前向差分和逆向差分两种。函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数，如果：，则称为的一阶前向差分。在微积分学中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当是多项式时，前向差分为Delta算子，一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低1。逆向差分对于函数，如果：则称为的一阶逆向差分。差分的阶称为的阶差分，即前向阶差分，如果根据数学归纳法，有其中，为二项式系数。特阅读全文

posted @ 2011-12-20 21:56 无忧consume 阅读(956) 评论(0) 推荐(0) |

有限元法，有限差分法和有限体积法

摘要：有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式... 阅读全文

posted @ 2011-12-20 21:52 无忧consume 阅读(1415) 评论(0) 推荐(0) |

范数&&向量范数

摘要：定义1. 设 ,满足 1. 正定性:║x║≥0,且║x║=0 <=> x=0 2. 齐次性:║cx║=│c│║x║, 3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║ 则称Cn中定义了向量范数,║x║为向量x的范数. 可见向量范数是向量的一种具有特殊性质的实值函数. 常用向量范数有,令x=( x1,x2,…,xn)T 1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│ 2-范数:║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2 ∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│) 易得 ║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞... 阅读全文

posted @ 2011-12-20 21:25 无忧consume 阅读(1205) 评论(0) 推荐(1) |

海森矩阵(Hessian matrix 或 Hessian)

摘要：在数学中，海森矩阵（Hessian matrix或Hessian）是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下：如果f所有的二阶导数都存在，那么f的海森矩阵即：H(f)ij(x) =DiDjf(x)其中，即（也有人把海森定义为以上矩阵的行列式）海森矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题。混合偏导数和海森矩阵的对称性海森矩阵的混合偏导数是海森矩阵非主对角线上的元素。假如他们是连续的，那么求导顺序没有区别，即上式也可写为在正式写法中，如果f函数在区域D内连续并处处存在二阶导数，那么f的海森矩阵在D区域内为对称矩阵。在→的函数的应用给定二阶导数连续的函数，海森矩阵的行列式，可阅读全文

posted @ 2011-12-20 20:50 无忧consume 阅读(1718) 评论(0) 推荐(0) |

变分法

摘要：变分法变分法（calculus of variations），是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。变分法的定理变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大. 阅读全文

posted @ 2011-12-20 20:16 无忧consume 阅读(1994) 评论(0) 推荐(1) |

构形&&变形梯度

摘要：构形是指物体在空间所占据的区域，是连续介质力学常用的术语。物质点X当其构形为χ时，它在空间所占据的位置以矢量x表示。物体随着时间t的迁移在空间移动，叫做运动。有时用某一特定的构形к，利用从к看到的χ表示物体的运动,更加方便。这种构形叫参考构形。作为参考构形，不必是时间固定的构形，也可以是随时间移动的构形。实际上，在力学中常用这种参考构形，它称为现时构形或流动构形。理性力学中一个有关变形的几何量在参考构形(见构形)上的物质点X的位置矢量 X 记为： X＝(X)，它在直角坐标系下的分量为X(=1,2,3)。为了探讨物质点X附近的变形,在参考构形上研究两个邻近物质点的位置 X ... 阅读全文

posted @ 2011-12-20 20:07 无忧consume 阅读(1077) 评论(0) 推荐(0) |

梯度

摘要：梯度在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧几里得空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅可比矩阵的一个特殊情况。上面两个图中，标量场是黑白的，黑色表示大的数值，而其相应的梯度用蓝色箭头表示。在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被称为梯度。梯度的解释假设有一个房间，房间内所有点的温度由一个标量场ϕ 阅读全文

posted @ 2011-12-20 20:05 无忧consume 阅读(2233) 评论(0) 推荐(0) |

张量(tensor)

摘要：张量（Tensor）是一个定义在的一些向量空间和一些对偶空间的笛卡儿积上的多线性函数，其坐标是 n 维空间内，有 nr个分量的一种量，其中每个分量都是坐标的函数，而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则作线性变换。r称为该张量的秩或阶（与矩阵的秩和阶均无关系）。在同构的意义下，第零阶张量（r= 0）为标量（Scalar），第一阶张量（r= 1）为向量（Vector），第二阶张量（r= 2）则成为矩阵（Matrix）。例如，对于3维空间，r= 1时的张量为此向量：。由于变换方式的不同，张量分成协变张量（Covariant Tensor，指标在下者）、逆变张量（Contrav 阅读全文

posted @ 2011-12-19 15:26 无忧consume 阅读(1075) 评论(0) 推荐(0) |

度量张量

摘要：度量张量在黎曼几何里面，度量张量，物理学译为度规张量，是指一用来衡量度量空间中距离及角度的二阶张量。当选定一个局域坐标系统xi，度量张量可以矩阵表示，记作为G或g。而gij记号传统地表示度量张量的协变分量(亦为“矩阵元素”)。以下我们用爱因斯坦求和约定来代表隐含的求和。一小段弧线长度定义如下，其中参数定为t，t由a到b:两个切向量的夹角θ,和，定义为:在欧几里得几何中，为流形光滑嵌入导入度量张量，由以下方程式计算得出:G=JTJJ表示崁入的雅可比矩阵，它的转置为JT例子欧几里德几何度量二维欧几里德度量张量:弧线长度转为熟悉微积分方程式:在其他坐标系统的欧氏度量:极坐标系:(x1,x2) = ( 阅读全文

posted @ 2011-12-19 15:14 无忧consume 阅读(1565) 评论(0) 推荐(0) |

拉普拉斯－贝尔特拉米算子

摘要：拉普拉斯－贝尔特拉米算子在微分几何中，拉普拉斯算子可以推广为定义在曲面，或更一般地黎曼流形与伪黎曼流形上，函数的算子。这个更一般的算子叫做拉普拉斯－贝尔特拉米算子（Laplace–Beltrami operator）。与拉普拉斯算子一样，拉普拉斯–贝尔特拉米算子定义为梯度的散度。这个算子作为共变导数的散度，可以延拓到张量上的算子。或者，利用散度与外导数，这个算子可以推广到微分形式上的算子，所得的算子称为拉普拉斯－德拉姆算子（Laplace–de Rham operator）。就像拉普拉斯算子一样，定义拉普拉斯－贝尔特拉米算子为梯度的散度。为了写出这个算子的一个公式，首先需写出流形上的散度与梯度阅读全文

posted @ 2011-12-19 15:13 无忧consume 阅读(3419) 评论(0) 推荐(0) |

有限元分析

摘要：有限元分析有限元分析，即有限元方法（冯康首次发现时称为基于变分原理的差分方法），是一种用于求解微分方程组或积分方程组数值解的数值技术. 这一解法基于完全消除微分方程, 即将微分方程转化为代数方程组(稳定情形); 或将偏微分方程(组)改写为常微分方程(组)的逼近, 这样可以用标准的数值技术(例如欧拉法,龙格-库塔方法等)求解.在解偏微分方程的过程中, 主要的难点是如何构造一个方程来逼近原本研究的方程, 并且该过程还需要保持数值稳定性.目前有许多处理的方法，他们各有利弊. 当区域改变时(就像一个边界可变的固体), 当需要的精确度在整个区域上变化, 或者当解缺少光滑性时, 有限元方法是在复杂区域( 阅读全文

posted @ 2011-12-19 01:06 无忧consume 阅读(1280) 评论(0) 推荐(0) |

欧拉－拉格朗日方程

摘要：欧拉－拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 为变分法中的一条重要方程。它提供了求泛函的平稳值的一个方法。设，以及在中连续，并设泛函第一方程。若使得泛函J(y)取得局部平稳值，则对于所有的，。推广到多维的情况，记，，。若使得泛函取得局部平稳值，则在区间内对于所有的，皆有。第二方程设，及在中连续，若使得泛函取得局部平稳值，则存在一常数C，使得。例子设及为直角坐标上的两个固定点，欲求连接两点之间的最短曲线。设，并且；这里，为连接两点之间的曲线。则曲线的弧长为。现设，，取偏微分，则，，fx=fy= 0。若y使得L(y)取得局部平稳值，则y符合第一方程：，阅读全文

posted @ 2011-12-18 23:57 无忧consume 阅读(1315) 评论(0) 推荐(0) |

保守矢量场

摘要：保守矢量场如果一个矢量场是某个标量势的梯度，那么便称为保守矢量场。有两个密切相关的概念：路径无关和无旋矢量场。任何一个保守矢量场的旋度都是零（因此是无旋的），也具有路径无关的性质。一个矢量场称为保守的，如果存在一个标量场，使得：定义在这里，表示φ的梯度。当以上的等式成立时，φ就称为的一个标量势。矢量分析基本定理表明，任何一个矢量场都可以表示为一个保守矢量场和一个螺线矢量场的和。路径无关保守矢量场的一个重要性质是它沿着一条路径的积分只与起点和终点有关，与路径无关。假设是三维空间内的一个区域，P是S内的一个可求长路径，其起点为A，终点为B。如果是保守矢量场，那么：这是复合函数求导法则和微积分基本定阅读全文

posted @ 2011-12-18 23:56 无忧consume 阅读(1063) 评论(0) 推荐(0) |

向量分析

摘要：向量分析维基百科，自由的百科全书向量微积分(Vector calculus)或向量分析(Vector Analysis)是数学的分支，关心拥有两个维度或以上的向量的多元实分析。它有一套方程式及难题处理技巧，对物理学及工程学特别有帮助。我们考虑到向量场时把向量联系到空间里的每一个点，考虑到标量场时把标量连系到空间里的每一个点。例如：游泳池的水温是标量场；游泳池的水流是向量场。向量算子算子表示叙述界域梯度标量场f改变的速率与方向标量场的梯度是向量场旋度向量场F倾向绕着一个点旋转的程度向量场的旋度是向量场（发）散度向量场F倾向源于一点的程度向量场的散度是标量场拉普拉斯算子为散度与梯度算子的组成标量场阅读全文

posted @ 2011-12-18 20:29 无忧consume 阅读(443) 评论(0) 推荐(0) |

格林三大恒等式

摘要：格林恒等式格林恒等式（Green's identities）乃是向量分析的一组共三条恒等式，以发现格林定理的英国数学家乔治·格林命名。设定向量场；其中，在的某区域内，ϕ是二次连续可微标量函数，ψ是一次连续可微标量函数，则从散度定理，格林第一恒等式，可以推导出格林第一恒等式[1]：；其中，是区域的边界，是取于边界面的法向导数，即。格林第二恒等式假若在区域内，ϕ和ψ都是二次连续可微，则可交换ϕ与ψ，从(ψ,ϕ)的格林第一恒等式得到(ϕ,ψ)的格林第一恒等式。将这两个恒等式相减，则可得到格林第二恒等式：。格林第三恒等式假设函数G是拉普拉斯方程式的基本解（fundamental so 阅读全文

posted @ 2011-12-18 18:44 无忧consume 阅读(6686) 评论(0) 推荐(1) |

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