格林三大恒等式

格林恒等式 

格林恒等式（Green's identities）乃是向量分析的一组共三条恒等式，以发现格林定理的英国数学家乔治·格林命名。

设定向量场 ；其中，在  的某区域  内，ϕ 是二次连续可微标量函数，ψ 是一次连续可微标量函数，则从散度定理，格林第一恒等式

 ，

可以推导出格林第一恒等式^[1]：

 ；

其中， 是区域  的边界， 是取于边界面  的法向导数，即  。

格林第二恒等式

假若在区域  内，ϕ 和 ψ 都是二次连续可微，则可交换 ϕ 与 ψ ，从 (ψ,ϕ) 的格林第一恒等式得到 (ϕ,ψ) 的格林第一恒等式。将这两个恒等式相减，则可得到格林第二恒等式：

 。

格林第三恒等式

假设函数 G 是拉普拉斯方程式的基本解（fundamental solution）：

 ；

其中， 是狄拉克δ函数。

例如，在 R³，基本解的形式为

 。

函数 G 称为格林函数。对于变量  与  的交换，格林函数具有对称性，即 。

设定 ϕ = G ，在区域  内，ψ 是二次连续可微。假若  在积分区域  内，则应用狄拉克δ函数的定义，

 ；

其中，dV' 、dS' 分别积分  于 

这是格林第三恒等式。假若 ψ 是调和函数，即拉普拉斯方程式的解：

 ，

则这恒等式简化为

 。