差分 - 无忧consume

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差分

Posted on 2011-12-20 21:56 无忧consume 阅读(874) 评论(0) 收藏举报

差分，又名差分函数或差分运算，是数学中的一个概念。它将原函数 $\ f(x)$ 映射到 $\ f(x+a)-f(x+b)$ 。差分运算，相应于微分运算，是微积分中重要的一个概念。

前向差分差分的定义分为前向差分和逆向差分两种。

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数 $\ f(x)$ ，如果：

$\ \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$ ，

则称 $\ \Delta f(x)$ 为 $\ f(x)$ 的一阶前向差分。在微积分学中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当 $\ f(x)$ 是多项式时，前向差分为Delta算子，一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低1。

逆向差分

对于函数 $\ f(x)$ ，如果：

$\ \nabla f(x)=f(x)-f(x-1).\,$

则称 $\ \nabla f(x)$ 为 $\ f(x)$ 的一阶逆向差分。

差分的阶

称 $\ \Delta^n [f](x)$ 为 $\ f(x)$ 的 $\ n$ 阶差分，即 $\ n$ 前向阶差分，如果

$\ \Delta^n [f](x)$	$\ = \Delta \{ \Delta^{n-1} [f](x) \}$
	$\ = \Delta^{n-1} [f](x+1) - \Delta^{n-1} [f](x)$

根据数学归纳法，有

$\ \Delta^n [f](x) = \sum_{i=0}^n {n \choose i} (-1)^{n-i} f(x+i)$

其中， $\ {n \choose i}$ 为二项式系数。

特别的，有

$\ \Delta^2 [f](x) = f(x+2) - 2f(x+1) + f(x)$

前向差分有时候也称作数列的二项式变换

差分的性质

对比解析函数中的微分的属性，差分的性质有：

如果C为常数，则有

$\ \Delta C=0$

线性：如果 $\ a$ 和 $\ b$ 为常数，则有

$\ \Delta (af+bg) = a \Delta f + b \Delta g$

乘法定则：

$\ \Delta (fg) = f \Delta g + g \Delta f + \Delta f \Delta g$

$\nabla (f g) = f \nabla g + g \nabla f - \nabla f \nabla g$

除法定则：

$\ \nabla \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{1}{g} \det \begin{bmatrix} \nabla f & \nabla g \\ f & g \end{bmatrix} \det {\begin{bmatrix} g & \nabla g \\ 1 & 1 \end{bmatrix}}^{-1}$

或

$\ \nabla\left( \frac{f}{g} \right)= \frac {g \nabla f - f \nabla g}{g \cdot (g - \nabla g)}$