随笔分类 - 高二
摘要：2017清华大学THUSSAT附加学科测试数学(二测)
$\cos^5\dfrac{\pi}{9}+\cos^5\dfrac{5\pi}{9}+\cos^5\dfrac{7\pi}{9}$ 的值为_____
A.$\frac{15}{32}$
B.$\frac{15}{16}$
C.$\frac{8}{15}$
D.$\frac{16}{15}$
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摘要：已知数列$\{\dfrac{1}{n}\}$的前$n$项和为$S_n$,则下面选项正确的是( )
A.$S_{2018}-1>\ln 2018$
B.$S_{2018}-1<\ln 2018$
C.$\ln2018$
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摘要：若函数$f(x)=x^2+(\dfrac{1}{3}+a)x+b$在$[-1,1]$上有零点,则$a^2-3b$的最小值为_____
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摘要：在平面四边形$ABCD$中,已知$E,F,G,H$分别是棱$AB,BC,CD,DA$的中点,若$|EG|^2-|HF|^2=1,$设$|AD|=x,|BC|=y,|AB|=z,|CD|=1,$则$\dfrac{2x+y}{z^2+8}$的最大值是______
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摘要：已知$a,b\in R.f(x)=e^x-ax+b$,若$f(x)\ge1$恒成立,则$\dfrac{b-a}{a}$的取值范围_____
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摘要：已知$F_1,F_2$分别为椭圆$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$的左右焦点.$A,B,C$是椭圆上$x$轴上方的三点,
且$AF_1//BO//CF_2$,则$\dfrac{AF_1+CF_2}{OB}$的取值范围_____
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摘要：已知函数$f(x)$的定义域为$D,\pi\in D$.若$f(x)$的图像绕坐标原点逆时针旋转$\dfrac{\pi}{3}$后与原图像重合,
则$f(\pi)$不可能是（ ）
A$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\pi$
B$\sqrt{3}\pi$
C$\pi$
D$\sqrt{2}\pi$
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摘要：(2018浙江高考压轴题)
已知函数$f(x)=\sqrt{x}-\ln x.$
(2)若$a\le 3-4\ln 2,$证明:对于任意$k>0$,直线$y=kx+a$ 与曲线$y=f(x)$有唯一的公共点.
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摘要：已知向量$\textbf{a},\textbf{b}$满足:$|\textbf{a}|=|\textbf{b}|=1,\textbf{a}\cdot\textbf{b}=\dfrac{1}{2},\textbf{c}=(m,1-m),\textbf{d}=(n,1-n),(m,n\in R)$,
存在$\textbf{a},\textbf{b}$,
对于任意的实数$m,n$,不等式$|\textbf{a}-\textbf{c}|+|\textbf{b}-\textbf{d}|\ge T$ 恒成立,则$T$的取值范围_____
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摘要：实数$x,y$满足$x^2+y^2=20,$求$xy+8x+y$的最大值___
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摘要：求$\sqrt{\dfrac{5}{4}-\sin x}+2\sqrt{\dfrac{9}{4}+\cos x-\sin x}$的最小值.
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摘要：已知$a>0$,函数$f(x)=e^x+3ax^2-2e x-a+1$,
(1)若$f(x)$在$[0,1]$上单调递减,求$a$的取值范围.
(2)$|f(x)|\le1$对任意$x\in[0,1]$恒成立,求$a$的取值范围.
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摘要：已知$f(x)=e^x-\dfrac{1}{2}ax^2-b$
(1)当$a=1,b=1$时,求$f(x)$在$[-1,1]$上的值域.
(2)若对于任意实数$x$,$f(x)\ge0$恒成立,求$a+b$的最大值
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摘要：(2017北大特优)在$\Delta ABC$中,$cos A+\sqrt{2}cos B+\sqrt{2}cos C$的最大值____
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摘要：(浙江2013高考压轴题)已知$a\in R$,函数$f(x)=x^3-3x^2+3ax-3a+3$
(2)当$x\in[0,2]$时,求$|f(x)|$的最大值.
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摘要：第一类:
已知定义在$R$上的奇函数$f(x),f(-1)=0,$当$x>0$时,$xf^{'}(x)-f(x)<0,$则$f(x)>0$的解集为____
第二类:
已知函数$f(x)$满足$x^2f^{'}(x)+2xf(x)=\dfrac{e^x}{x},f(2)=\dfrac{e^2}{8}$则$x>0$时,$f(x)$ （ ）
A.有极大值,无极小值
B.有极小值,无极大值
C.既有极大值,又有极小值
D.既无极大值,也无极小值
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摘要：函数$f(x)=\sqrt[n]x(n-\ln x),$其中$n\in N^*,x\in(0,+\infty)$.
(1)若$n$为定值,求$f(x)$的最大值.
(2)求证:对任意$m\in N^+$,有$\ln1+\ln2+\cdots+\ln(m+1)>2(\sqrt{m+1}-1)^2;$
(3)若$n=2,\ln a\ge1,$求证:对任意$k>0,$直线$y=-kx+a$与曲线$y=f(x)$有唯一公共点.
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摘要：2010浙江省数学竞赛,附加题.
设$D,E,F$分别为$\Delta ABC$的三边$BC,CA,AB$上的点,记$\alpha=\dfrac{BD}{BC},\beta=\dfrac{BD}{BC},\gamma=\dfrac{AF}{AB}$
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摘要：已知正系数二次函数$ax^2+bx+c=0$有实数根,证明:$\max\{a,b,c\}\ge\dfrac{4}{9}(a+b+c)$
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摘要：已知正系数二次函数$ax^2+bx+c=0$有实数根,证明:$\min\{a,b,c\}\le\dfrac{a+b+c}{4}$
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