随笔分类 - 高一
摘要：已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac{1}{2},a_{n+1}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}a_n\right),S_n$ 为$\{a_n\}$的前$n$项和,求证:$S_n>n-\dfrac{5}{2}$
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摘要：(2014北约自主招生)已知正实数$x_1,x_2,\cdots,x_n$满足$x_1x_2\cdots x_n=1,$求证:
$(\sqrt{2}+x_1)(\sqrt{2}+x_2)\cdots(\sqrt{2}+x_n)\ge(\sqrt{2}+1)^n$
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摘要：在锐角$\Delta ABC$中,角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,且满足$b^2-a^2=ac$,则$\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}$ 的取值范围是_____
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摘要：已知向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$满足:$|\overrightarrow{a}|=2$,向量$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$夹角为$\dfrac{2\pi}{3}$
则$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$的取值范围_____
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摘要：(高考压轴题改编)如图,长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中,$AB=11,AD=7,AA_1=12.$一质点从顶点$A$设向$E(4,3,12)$遇到长方体的面反射(服从光的反射原理),将第$i-1$次到第$i$ 次反射点之间的线段记为$L_i(i=2,3,4),L_1=AE$,则$L_1:L_2:L_3:L_4=$______
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摘要：(2016浙江填空压轴题)
已知实数$a,b,c$则 ( )
A.若$|a^2+b+c|+|a+b^2+c|\le1,$则$a^2+b^2+c^2<100$
B.若$|a^2+b+c|+|a+b^2-c|\le1,$则$a^2+b^2+c^2<100$
C.若$|a+b+c|+|a+b-c|\le1,$则$a^2+b^2+c^2<100$
D.若$|a^2+b+c|+|a+b^2-c|\le1,$则$a^2+b^2+c^2<100$
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摘要：已知$f(x)=\ln x+ax+b (a>0)$在区间$[t,t+2],(t>0)$上的最大值为$M_t(a,b)$.若$\{b|M_t(a,b)\ge\ln2 +a\}=R$,则实数$t$的最大值为______
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摘要：(2015浙江理科)
已知函数$f(x)=x^2+ax+b,(a,b\in R)$.记$M(a,b)$是$|f(x)|$在区间$[-1,1]$上的最大值.
(1)证明:当$|a|\ge2$时,$M(a,b)\ge2$;
(2)当$a,b$满足$M(a,b)\le 2$,求$|a|+|b|$的最大值.
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摘要：若函数$f(x)=x^2+(\dfrac{1}{3}+a)x+b$在$[-1,1]$上有零点,则$a^2-3b$的最小值为_____
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摘要：在平面四边形$ABCD$中,已知$E,F,G,H$分别是棱$AB,BC,CD,DA$的中点,若$|EG|^2-|HF|^2=1,$设$|AD|=x,|BC|=y,|AB|=z,|CD|=1,$则$\dfrac{2x+y}{z^2+8}$的最大值是______
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摘要：已知函数$f(x)$的定义域为$D,\pi\in D$.若$f(x)$的图像绕坐标原点逆时针旋转$\dfrac{\pi}{3}$后与原图像重合,
则$f(\pi)$不可能是（ ）
A$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\pi$
B$\sqrt{3}\pi$
C$\pi$
D$\sqrt{2}\pi$
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摘要：已知向量$\textbf{a},\textbf{b}$满足:$|\textbf{a}|=|\textbf{b}|=1,\textbf{a}\cdot\textbf{b}=\dfrac{1}{2},\textbf{c}=(m,1-m),\textbf{d}=(n,1-n),(m,n\in R)$,
存在$\textbf{a},\textbf{b}$,
对于任意的实数$m,n$,不等式$|\textbf{a}-\textbf{c}|+|\textbf{b}-\textbf{d}|\ge T$ 恒成立,则$T$的取值范围_____
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摘要：实数$x,y$满足$x^2+y^2=20,$求$xy+8x+y$的最大值___
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摘要：(2017北大特优)在$\Delta ABC$中,$cos A+\sqrt{2}cos B+\sqrt{2}cos C$的最大值____
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摘要：2010浙江省数学竞赛,附加题.
设$D,E,F$分别为$\Delta ABC$的三边$BC,CA,AB$上的点,记$\alpha=\dfrac{BD}{BC},\beta=\dfrac{BD}{BC},\gamma=\dfrac{AF}{AB}$
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摘要：已知正系数二次函数$ax^2+bx+c=0$有实数根,证明:$\max\{a,b,c\}\ge\dfrac{4}{9}(a+b+c)$
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摘要：已知正系数二次函数$ax^2+bx+c=0$有实数根,证明:$\min\{a,b,c\}\le\dfrac{a+b+c}{4}$
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摘要：函数$f(x)=\dfrac{3+5\sin x}{\sqrt{5+4\cos x+3\sin x}}$的值域是____
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摘要：对于$c>0$,当非零实数$a,b$满足$4a^2-2ab+4b^2-c=0,$且使$|2a+b|$最大时,$\dfrac{3}{a}-\dfrac{4}{b}+\dfrac{5}{c}$的最小值为_____
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摘要：若$\Delta ABC$满足:$\tan\dfrac{A}{2}\cdot\tan\dfrac{C}{2}=\dfrac{1}{3},b=\dfrac{4}{3}a$,则$\sin B=$______
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