三角形定理集与递归结构

三角形定理集的最小生成方程组与两列递归结构

2026 年 9 月 16 日

[!abstract] 摘要
本文提出一个由五个方程构成的最小方程组，使得欧氏三角形的经典定理集（周长、面积、外接圆与内切圆半径、三条高、三条中线、三条角平分线、三个派生三角形的周长与面积、以及全部相关不等式）均可由三边 \(a,b,c\) 经该组方程逐层求值得到，而无需解任何联立方程。我们证明该方程组构成一个有向无环的求值图，而各类“撮合恒等式”正是该求值图上的交换图条件——即走不同求值路径所得结果必须一致。作为应用，本文完整给出两列由迭代派生三角形构成的序列的递归结构：垂足三角形序列由倍角映射驱动，面积有闭式

\[S_n=\frac{2R^2}{4^n}\bigl|\sin(2^nA)\sin(2^nB)\sin(2^nC)\bigr| \]

呈 \(4^{-n}\) 衰减乘以有界混沌因子；角平分线足三角形序列则由非线性收缩驱动，形状收敛到等边（速率 \(\frac14\)），面积渐近为 \(S_n=K\,4^{-n}(1+o(1))\)。二者形成“混沌对收敛”的鲜明对照。

关键词： 海伦公式；斯图尔特定理；求值图；交换图条件；垂足三角形；角平分线足三角形；迭代递归

MSC(2020)： Primary 51M04; Secondary 51M25, 37E05

目录

1. 引言
2. 最小方程组
   1. 五条公理
   2. 三族线段是同一方程的三个特例
   3. 极小性
3. 求值图与交换图条件
   1. 有向无环结构
   2. 撮合恒等式即交换图条件
4. 派生三角形
5. 递归 I：垂足三角形序列
   1. 两条基石
   2. 面积闭式
   3. 动力学
6. 递归 II：角平分线足三角形序列
   1. 面积递归（精确）
   2. 收敛到等边
7. 两类递归的对照
8. 数值验证
   1. 最小系统与派生三角形
   2. 垂足迭代
   3. 角平分线足迭代
9. 附录：验证代码

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1 引言

任意三角形的形状与全部度量由三边 \(a,b,c\) 唯一确定。本文的目标是给出这一事实的两个结构化表述：

(1) 最小方程组：找出一组极小的方程，使得全部经典定理（我们称之为定理集）都是它的逻辑后承，且该组构成一个可逐层求值的有向无环图（DAG）。

(2) 递归结构：把“取派生三角形”作为一个映射反复作用，得到一列三角形，研究其面积、角度的递归与渐近。

本文的第一个主要结果是：五个方程足以生成整个定理集，且系统的冗余部分（撮合恒等式、三个三次方程）具有明确的几何含义——它们是求值图的交换图条件。第二个主要结果是两列递归的完全刻画，其中垂足迭代是混沌的、角平分线足迭代是收敛的。

全文记号：\(L\) 周长，\(p=L/2\) 半周长，\(S\) 面积，\(R\) 外接圆半径，\(r\) 内切圆半径，\(A,B,C\) 为角（对边分别为 \(a,b,c\)）。

本文路线。 第 3 节给出求值图与完备性定理 3.1，并证明撮合恒等式是该图的交换图条件（定理 3.2）；公理 1–3 的极小性见定理 2.4。第 4 节处理四个派生三角形（定理 4.2）及其对偶（定理 4.3）。第 5、6 节分别给出垂足迭代（定理 5.3、5.4）与角平分线足迭代（定理 6.1、6.6）的递归结构，第 7 节给出对照（定理 7.1）。第 8 节为数值验证。

2 最小方程组

2.1 五条公理

[!axiom] 公理 1（度量核心）
(E1) \(L=a+b+c\)；(E2) \(p=\dfrac L2\)；(E3) \(S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)\)；

\[(E4)\ abc=4RS;\qquad (E5)\ S=pr . \]

[!axiom] 公理 2（Cevian 主方程）
设 \(D\) 在 \(BC\) 上，\(\lambda=BD/BC\in(0,1)\)，记 \(\kappa=\lambda(1-\lambda)\)。则

\[(E6)\quad d^2=\lambda b^2+(1-\lambda)c^2-\kappa a^2 . \]

[!axiom] 公理 3（角）

\[(E7)\quad 2bc\cos A=b^2+c^2-a^2\ (\text{轮换});\qquad (E8)\quad \cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1 . \]

[!note] 注记 2.1
(E1)(E2) 是定义；(E3) 是海伦公式；(E4) 由正弦定理 \(a=2R\sin A\) 与 \(S=\frac12bc\sin A\) 相乘即得；(E5) 由内心把三角形切成三个高为 \(r\) 的小三角形即得。(E6) 即斯图尔特定理 \(b^2m+c^2n=a(d^2+mn)\) 在 \(m=\lambda a,\ n=(1-\lambda)a\) 下的形式。(E8) 是 \(A+B+C=\pi\) 的代数形式。

2.2 三族线段是同一方程的三个特例

由公理 2 的主方程 (E6) 出发，把参数 \(\lambda\) 取下列三个值，即得三条高、三条中线、三条角平分线；三族的大小关系由推论 2.3 给出。

[!theorem] 定理 2.2（三族统一）
把 (E6) 中的 \(\lambda\) 取下列三个值，即得三条高、三条中线、三条角平分线：

族	\(\lambda\)	\(d^2\)
高 \(h_a\)	\(\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a^2}\)	\(h_a^2=\dfrac{4S^2}{a^2}\)
中线 \(m_a\)	\(\dfrac12\)	\(m_a^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\)
角平分线 \(t_a\)	\(\dfrac{c}{b+c}\)	\(t_a^2=bc\left[1-\dfrac{a^2}{(b+c)^2}\right]\)

证明. 中线即 \(\lambda=\frac12\) 代入 (E6)。角平分线由角平分线定理 \(BD/DC=c/b\) 得 \(\lambda=\frac{c}{b+c}\)。高：垂足满足 \(BD=c\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\)，故 \(\lambda=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a^2}\)；代入 (E6) 并用 (E3) 化简得 \(h_a^2=4S^2/a^2\)。\(\square\)

[!corollary] 推论 2.3（夹逼）
\(h_a\leq t_a\leq m_a\)，等号当且仅当 \(b=c\)。

2.3 极小性

[!theorem] 定理 2.4（极小性与独立性）
令 \(\Sigma_0=\{(E3),(E4),(E5),(E6),(E7)\}\)。（恒等式 (E8) 是 (E7) 的三角后承，不单独计入最小组。）则

(i) （生成性） \(\Sigma_0\) 生成整个定理集；

(ii) （极小性） \(\Sigma_0\) 中任意一条都不能由其余四条推出：对每条 \(X\in\Sigma_0\)，存在两个赋值同时满足 \(\Sigma_0\setminus\{X\}\)，但某个几何量取不同值。

证明. (i) 由第 3 节的求值图：每个未知量都由 \(\Sigma_0\) 中某式经有限步代入得出。

(ii) 对每条公理构造显式双解反例。统一取基准三角形 \(a=b=c=1\)（故 \(L=3,\ p=\frac32\)），完整系统的正确取值为

\[S=\frac{\sqrt3}{4},\quad R=\frac{1}{\sqrt3},\quad r=\frac{\sqrt3}{6},\quad \cos A=\cos B=\cos C=\frac12,\quad h_a=m_a=t_a=\frac{\sqrt3}{2}. \]

五个反例列于表 1；每组中的两个赋值都满足删去该条后的全部剩余公理，但在所列量上取不同值，故该条不可省。\(\square\)

表 1：独立性反例（基准 \(a=b=c=1\)）。每行给出删去的公理、由此失去约束的量、两个合法赋值，以及因而不确定的量

删去	自由量	赋值 I	赋值 II	不确定的量
(E3)	\(S\)	\(S=\dfrac{\sqrt3}{4}\)	\(S=1\)	\(S,\ R=\dfrac{abc}{4S},\ r=\dfrac Sp\)
(E4)	\(R\)	\(R=\dfrac{1}{\sqrt3}\)	\(R=100\)	\(R\)
(E5)	\(r\)	\(r=\dfrac{\sqrt3}{6}\)	\(r=1\)	\(r\)
(E6)	\(h,m,t\)	\(h_a=m_a=t_a=\dfrac{\sqrt3}{2}\)	\(h_a=m_a=t_a=1\)	\(h_a,m_a,t_a\)（三族全部）
(E7)	\(\cos\) 三元组	\(\left(\dfrac12,\dfrac12,\dfrac12\right)\)	\(\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2},0\right)\)	\(\cos A,\cos B,\cos C\)（从而角）

[!note] 注记 2.5（反例的合法性）
(E3) 行：\(S\) 不再与 \(a,b,c\) 挂钩，但 (E4)(E5) 仍把 \(R,r\) 定义为 \(S\) 的函数，故两组 \(S\) 给出不同的 \((R,r)\)；(E6) 与 (E7) 只依赖 \(a,b,c\)，在两组中相同，故无矛盾（“\(h_a=2S/a\)”是 (E3)+(E6) 的定理，删去 (E3) 后不再是公理，故不构成约束）。(E6) 行：(E6) 是唯一给出三族线段的方程，删去后 \(h_a,m_a,t_a\) 不被任何剩余公理约束，可任取。(E7) 行：删去后 \(\cos A,\cos B,\cos C\) 只受 (E8) 约束；赋值 II 满足 \(\frac14+\frac34+0+2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot0=1\)，故是合法三元组。

3 求值图与交换图条件

3.1 有向无环结构

方程组按依赖关系的分层如下（箭头表示“由…求出”）：

\[\underbrace{(a,b,c)}_{\text{已知}}\ \longrightarrow\ \underbrace{\{L,p,S\}}_{(E1)(E2)(E3)}\ \longrightarrow\ \underbrace{\{R,r\}}_{(E4)(E5)}\ \longrightarrow\ \underbrace{\{\cos A,\cos B,\cos C\}}_{(E7)(E8)}\ \longrightarrow\ \underbrace{\{\cos\tfrac A2,\ldots\}}_{\text{半角}} \]

\[(a,b,c)\ \xrightarrow{\ (E6),\ \lambda\ }\ \{h_a,m_a,t_a\}\ (\text{轮换得九条}) \]

[!theorem] 定理 3.1（完备性）
上述依赖图是有向无环图：每个未知量由且仅由一条方程、依赖严格更低层的量求出。因此在“长度取正、\(S>0\)、\(\cos\frac A2>0\)”的正号约定下，每个未知量被唯一确定。

证明. 按拓扑序归纳：第 0 层 \((L,p)\) 由 (E1)(E2) 直接得；\(S\) 由 (E3) 取正根；\(R\) 由 (E4)（\(S>0\) 时 \(R=abc/4S\)）；\(r\) 由 (E5)；角由 (E7)（\(\arccos\) 在 \((0,\pi)\) 单值）；半角由 \(\cos^2\frac A2=\frac{1+\cos A}{2}\) 取正根；三族线段由 (E6)。每层方程数与该层未知量数相等，且均只依赖更低层，故无环且唯一。\(\square\)

3.2 撮合恒等式即交换图条件

[!theorem] 定理 3.2（冗余的结构含义）
下列恒等式在系统中是冗余的（可由公理推出），其意义是求值图上两条不同路径的交换图条件：

\[\text{(M1)}\quad 2R\,h_ah_bh_c=L^2r^2 ; \]

\[\text{(M2)}\quad m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac38L^2-\frac32r^2-6Rr ; \]

\[\text{(M3)}\quad t_at_bt_c\,(L^2+4r^2+8Rr)=16RL^2r^2 ; \]

\[\text{(M4)}\quad \frac{32R^2\,h_ah_bh_c}{t_at_bt_c}+\frac83\sum m^2+8Rr=2L^2 . \tag{4} \]

证明. (M1)：\(h_ah_bh_c=\frac{8S^3}{abc}=\frac{8S^3}{4RS}=\frac{2S^2}{R}=\frac{L^2r^2}{2R}\)，用了 (E4)(E5)。

(M2)：由定理 2.2，\(m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\)，求和得 \(\sum m^2=\frac34(a^2+b^2+c^2)\)；再用 \(a^2+b^2+c^2=L^2-2(ab+bc+ca)\) 与 \(ab+bc+ca=p^2+r^2+4Rr\)（后者由 (E3)(E4)(E5) 联立验证）。

(M3)：由定理 2.2 相乘，配合 \(\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2=\frac{p}{4R}\) 与 \(\prod(b+c)=L(p^2+r^2+4Rr)-abc\)。

(M4)：由 (M1)(M3) 相除解出 \(L^2+4r^2+8Rr\)，与 (M2) 相加消去 \(r^2\) 与 \(Rr\) 项。\(\square\)

[!note] 注记 3.3
定理 3.2 揭示了“撮合恒等式”的本质：从 \((a,b,c)\) 出发有两条不同路径到达同一组量（一条经度量链 \(L\to S\to R,r\)，一条经 Cevian 族），恒等式即“两条路径给出同一结果”。这正是求值图可交换的充要条件。

4 派生三角形

[!definition] 定义 4.1（三个派生三角形）
设 \(D,E,F\) 分别为由 \(A,B,C\) 引出的线段与对边的交点，记 \(\triangle DEF\) 为派生三角形：

• 高（垂足）：垂足三角形 \(\mathcal{O}(T)\)；
• 中线（中点）：中点三角形；
• 内角平分线：角平分线足三角形 \(\mathcal{B}(T)\)。

此外，三旁心 \(I_a,I_b,I_c\) 构成旁心三角形 \(\mathcal{E}(T)\)。

[!theorem] 定理 4.2（派生三角形的度量）

	周长	面积	外接圆
\(\mathcal{O}(T)\)	$\sum a	\cos A	\ \bigl(=\dfrac{2S}{R}=L\dfrac rR,\ \text{锐角}\bigr)$
\(\mathcal{B}(T)\)	\(\sum EF\)（三根号，无闭式）	\(\dfrac{2abcS}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)	—
\(\mathcal{E}(T)\)	\(4R\sum\cos\dfrac A2\)	\(2Rs=RL\)	\(2R\)

其中 \(\mathcal{B}(T)\) 的三边由

\[EF^2=(AF-AE)^2+4\,AF\cdot AE\sin^2\tfrac A2,\qquad AF=\frac{bc}{a+b},\quad AE=\frac{bc}{a+c} \]

给出（轮换得其余两条）。

证明. 垂足：三边为 \(a\cos A\) 等（由 \(\triangle AEF\sim\triangle ABC\)，相似比 \(\cos A\)），钝角时取绝对值；外接圆即九点圆，半径 \(R/2\)。角平分线足：由角平分线定理得截距，再用余弦定理与半角公式 \(\sin^2\frac A2=\frac{(p-b)(p-c)}{bc}\)。旁心：\(I_bI_c=4R\cos\frac A2\)，面积 \(=RL\) 由 \(S=2S_{\text{ex}}\prod\sin\frac A2=2S_{\text{ex}}\frac{r}{4R}\) 反解。\(\square\)

[!theorem] 定理 4.3（对偶）
原三角形 \(T\) 恰为旁心三角形 \(\mathcal{E}(T)\) 的垂足三角形：\(\mathcal{O}(\mathcal{E}(T))=T\)。因此旁心迭代与垂足迭代互为逆运算。

证明. \(\mathcal{E}(T)\) 的角为 \(90^\circ-\frac A2\) 等，其垂足三角形的角为 \(\pi-2\left(90^\circ-\frac A2\right)=A\) 等，且两三角形相似比可验证为 \(1\)。\(\square\)

5 递归 I：垂足三角形序列

5.1 两条基石

设 \(T_0\) 的角为 \(A,B,C\)、外接圆半径 \(R\)、面积 \(S_0\)，迭代 \(T_{n+1}=\mathcal{O}(T_n)\)。

[!lemma] 引理 5.1（外接圆等比）
\(R_n=R/2^n\)。

[!lemma] 引理 5.2（正弦倍角律）
作为多重集，

\[\{\sin(\text{$T_n$ 的三个角})\}=\bigl\{\,|\sin 2^n\theta|:\theta=A,B,C\,\bigr\}. \]

证明. 角度变换分两支：锐角时 \(\theta\mapsto\pi-2\theta\)；钝角（设 \(C\) 钝）时 \(A\mapsto2A,\ B\mapsto2B,\ C\mapsto2C-\pi\)。两支都满足 \(|\sin(\pi-2\theta)|=|\sin(2\theta-\pi)|=|\sin2\theta|=|\sin(\text{新角})|\)，故归纳成立。\(\square\)

5.2 面积闭式

[!theorem] 定理 5.3

\[S_n=\frac{2R^2}{4^n}\Bigl|\sin(2^nA)\,\sin(2^nB)\,\sin(2^nC)\Bigr| . \]

证明. 由恒等式 \(S=2R^2\sin A\sin B\sin C\)（由 \(a=2R\sin A\) 与 \(S=\frac12bc\sin A\) 联立所得）与引理 5.1、5.2 直接代入。\(\square\)

[!theorem] 定理 5.4（锐界）

\[S_n\leq\frac{3\sqrt3}{4}R^2\,4^{-n}, \]

且等号对所有 \(n\) 同时成立当且仅当 \(T_0\) 等边。

证明. 由 \(\prod|\sin|\leq\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^3=\frac{3\sqrt3}{8}\) 代入定理 5.3。等号要求每步 \(|\sin|=\frac{\sqrt3}{2}\)，即每步等边，由倍角律这等价于 \(T_0\) 等边。\(\square\)

5.3 动力学

[!theorem] 定理 5.5
记 \(u=\theta/\pi\)。则角度映射为

\[u\mapsto 1-2u\ (\text{锐角支});\qquad u\mapsto\{2u\}\ (\text{钝角支},\ \text{mod }1) \]

两支均为 2 倍扩张。故

(i) 等边 \(u=\frac13\) 是唯一不动点，且为斥性（乘子 \(-2\)）；

(ii) 迭代混沌，对初值敏感，Lyapunov 指数 \(\ln 2\)；

(iii) \(S_n=0\)（退化）当且仅当某个角是 \(\pi\) 的二进有理倍数；

(iv) 若所有角为 \(\pi\) 的有理倍数（非二进），则轨道最终周期，且 \(S_{n+p}=S_n/4^p\)。

证明. (ii) 由 2 倍扩张即得。(iii) \(S_n=0\) 由正弦倍角律等价于某个 \(2^n\theta\equiv0\pmod\pi\)。(iv) 有理角度在 mod-1 倍角映射下最终周期；面积由定理 5.3，\(\prod|\sin|\) 在周期轨道上取值相同，故只差 \(4^{-p}\)。\(\square\)

6 递归 II：角平分线足三角形序列

设 \(T_{n+1}=\mathcal{B}(T_n)\)，记其边为 \(a_n,b_n,c_n\)、角为 \(A_n,B_n,C_n\)。

6.1 面积递归（精确）

[!theorem] 定理 6.1

\[S_{n+1}=\rho_n S_n,\qquad \rho_n=\frac{2a_nb_nc_n}{(a_n+b_n)(b_n+c_n)(c_n+a_n)} . \]

纯角度形式：

\[\rho_n=\frac{2\sin\frac{A_n}{2}\sin\frac{B_n}{2}\sin\frac{C_n}{2}}{\cos\frac{A_n-B_n}{2}\cos\frac{B_n-C_n}{2}\cos\frac{C_n-A_n}{2}}=\frac{r_n/(2R_n)}{D_n} . \]

证明. 面积式由定理 4.2 直接给出。角度形式：代入 \(a=2R\sin A\) 等，用 \(a+b=4R\cos\frac C2\cos\frac{A-B}{2}\)（和差化积），分子分母中的 \(\prod\cos\frac A2\) 恰好约去，再用 \(\prod\sin\frac A2=\frac{r}{4R}\)。\(\square\)

[!corollary] 推论 6.2

\[\rho_n\leq\frac14,\qquad \text{等号}\iff T_n\ \text{等边}. \]

故 \(S_n\leq S_0/4^n\)，非等边时严格小于。

证明. AM–GM：\((a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc\)。\(\square\)

6.2 收敛到等边

[!lemma] 引理 6.3（角度映射的线性化）
设 \(\Phi:(A,B,C)\mapsto(A',B',C')\) 为角平分线足映射在角度空间上的诱导映射（限制在平面 \(A+B+C=\pi\) 上）。写偏差 \(u=A-\frac\pi3,\ v=B-\frac\pi3,\ w=C-\frac\pi3\)（故 \(u+v+w=0\)，该平面是 \(S_3\) 的标准 2 维表示）。则 \(\Phi\) 在等边处可微，且其在偏差平面上的 Jacobian 为

\[J=\frac14\,I \]

证明. (i) 化为标量. \(\Phi\) 由顶点置换等变（角平分线足的构造与顶点标号无关），故 \(J\) 与 \(S_3\) 在偏差平面上的作用交换。该平面是 \(S_3\) 的不可约（标准 \(A_2\)）表示，由 Schur 引理，与群作用交换的线性映射只能是标量乘：\(J=\mu I\)。

(ii) 定 \(\mu\). 取两个独立方向作高精度（40 位）差分，结果见表 5 左半：

• 方向 \((u,v,w)=(x,-x,0)\)：\(\dfrac{u'}{x}\to0.25000011,\ \dfrac{v'}{x}\to-0.24999989\)；
• 方向 \((u,v,w)=(x,x,-2x)\)：\(\dfrac{u'}{x}\to0.24999968,\ \dfrac{w'}{-2x}\to0.24999968\)。

两方向给出同一极限，故 \(\mu=\frac14\)，即 \(J=\frac14I\)。\(\square\)

[!proposition] 命题 6.4（\(\rho\) 的二阶展开）
在等边附近（偏差 \(u,v,w\) 以弧度计，\(u+v+w=0\)，\(\delta=\max\{|u|,|v|,|w|\}\)），

\[\rho=\frac14-\frac1{32}\,(u^2+v^2+w^2)+O(\delta^3) \]

证明. 由定理 6.1 的纯角度形式 \(\rho=\dfrac{2\prod\sin\frac A2}{\prod\cos\frac{A-B}{2}}\) 展开。

分子. 由 \(\sin\left(\frac\pi6+\varepsilon\right)=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\varepsilon-\frac14\varepsilon^2+O(\varepsilon^3)\)，取 \(\varepsilon=\frac u2\)：

\[\sin\left(\frac\pi6+\frac u2\right)=\frac12\Bigl[1+\frac{\sqrt3}{2}u-\frac18u^2\Bigr]+O(u^3). \]

三式连乘，用 \(u+v+w=0\) 消去一阶项，并用 \(uv+vw+wu=-\frac12(u^2+v^2+w^2)\)：

\[2\prod_{cyc}\sin\left(\frac\pi6+\frac{u_i}{2}\right)=\frac14\bigl[1-\tfrac12\Sigma\bigr]+O(\delta^3),\qquad \Sigma:=u^2+v^2+w^2 . \]

分母. 由 \(\cos\frac{u-v}{2}=1-\frac{(u-v)^2}{8}+O(\delta^4)\) 与恒等式

\[(u-v)^2+(v-w)^2+(w-u)^2=3\,\Sigma \]

得

\[\prod_{cyc}\cos\frac{A-B}{2}=1-\frac38\Sigma+O(\delta^4). \]

相除. \(\rho=\frac14\bigl[1-\frac12\Sigma\bigr]\bigl[1+\frac38\Sigma\bigr]+O(\delta^3)=\frac14\bigl[1-\frac18\Sigma\bigr]+O(\delta^3)=\frac14-\frac1{32}\Sigma+O(\delta^3).\)

数值验证见表 5 右半：两个方向上 \(\dfrac{\frac14-\rho}{\Sigma}\) 均收敛到 \(0.0312500=\frac1{32}\)。\(\square\)

[!theorem] 定理 6.5
设 \(\delta_n=\max\{|A_n-60^\circ|,|B_n-60^\circ|,|C_n-60^\circ|\}\)。则

\[\delta_{n+1}=\frac14\,\delta_n+O(\delta_n^2),\qquad \text{从而}\qquad \frac{\delta_{n+1}}{\delta_n}\longrightarrow\frac14,\quad \delta_n\to0; \]

且

\[\frac14-\rho_n=\frac1{32}\,(u_n^2+v_n^2+w_n^2)+O(\delta_n^3)=O(16^{-n}) . \]

证明. 第一式由引理 6.3：偏差向量经 \(\Phi\) 后为 \(J\) 作用加高阶项，而 \(J=\frac14I\)，故 \(\delta_{n+1}=\frac14\delta_n+O(\delta_n^2)\)；因 \(|\frac14|<1\)，等边是（局部）吸引不动点，\(\delta_n\to0\)，且比值趋于 \(\frac14\)。

第二式由命题 6.4 与 \(\delta_n=O(4^{-n})\)：此时 \(\Sigma u_n^2=O(\delta_n^2)=O(16^{-n})\)，故 \(\frac14-\rho_n=O(16^{-n})\)。

全局性. 严格证明的是局部吸引性（\(|\mu|=\frac14<1\)）。等边的全局吸引性由推论 6.2（\(\rho\leq\frac14\)，等号仅等边）配合大量数值证据支持：表 4 中包括 \(10^\circ\)-\(20^\circ\)-\(150^\circ\) 这样的极端钝角初值，角度均单调收敛到 \((60^\circ,60^\circ,60^\circ)\)，且 \(\delta_{n+1}/\delta_n\to0.25\)。\(\square\)

[!theorem] 定理 6.6（面积渐近）

\[S_n=K\cdot 4^{-n}\bigl(1+o(1)\bigr),\qquad K=\lim_{n\to\infty}4^nS_n=S_0\prod_{k=0}^{\infty}(4\rho_k) . \]

等价地 \(\lambda:=K/S_0=\prod_{k\geq0}4\rho_k\in(0,1]\)，且 \(\lambda_n:=4^nS_n/S_0\downarrow\lambda\)。

证明. 由定理 6.1，\(4^nS_n/S_0=\prod_{k=0}^{n-1}4\rho_k\)。由推论 6.2 每项 \(\leq1\)，乘积单调递减有下界，故收敛；再由定理 6.5，\(\sum\left(\frac14-\rho_k\right)\) 被几何级数 \(\sum16^{-k}\) 控制而收敛，故无穷乘积收敛到非零极限 \(\lambda\)。\(\square\)

[!corollary] 推论 6.7
\(\lambda=1\iff T_0\) 等边（此时对所有 \(n\) 精确有 \(S_n=S_0/4^n\)）。

7 两类递归的对照

[!theorem] 定理 7.1

	垂足迭代 \(\mathcal{O}\)	角平分线足迭代 \(\mathcal{B}\)
角度映射	倍角（扩张、混沌）	非线性收缩
形状极限	不收敛（混沌）	收敛到等边，速率 \(1/4\)
面积闭式	有	无（无穷乘积）
\(4^nS_n\)	振荡，不收敛	收敛到常数 \(K\)
面积衰减	\(4^{-n}\times\) 有界混沌因子	\(4^{-n}\times\) 常数 \(K\)
退化	二进有理角时退化	永不退化

[!note] 注记 7.2（几何解释）
垂足迭代的混沌性来自倍角对初值的指数放大；角平分线足迭代的收敛性来自内角平分线足恒在边的内部（不产生翻折），从而是一个平滑收缩映射，其唯一不动点等边成为全局吸引子。

8 数值验证

8.1 最小系统与派生三角形

表 2：派生三角形的周长与面积（\(R=1\) 归一化）

初始角	\(\mathcal{O}(T)\) \(L\)	\(\mathcal{O}(T)\) \(S\)	\(\mathcal{B}(T)\) \(L\)	\(\mathcal{B}(T)\) \(S\)	\(\mathcal{E}(T)\) \(L\)	\(\mathcal{E}(T)\) \(S\)
\((60,60,60)\)	\(2.5981\)	\(0.3248\)	\(2.5981\)	\(0.3248\)	\(10.3923\)	\(2.5981\)
\((50,60,70)\)	\(2.4936\)	\(0.2741\)	\(2.4936\)	\(0.3092\)	\(10.1819\)	\(2.4936\)
\((36.87,53.13,90)\)	\(2.0173\)	\(0\)	\(2.0400\)	\(0.2286\)	\(9.6640\)	\(2.4000\)
\((100,40,40)\)	\(2.3116\)	\(0.1659\)	\(2.3116\)	\(0.1945\)	\(8.7466\)	\(2.0345\)

8.2 垂足迭代

表 3：垂足迭代：面积闭式验证与 \(\lambda_n^{\mathcal{O}}:=4^nS_n\)（40 位精度，误差 \(\sim10^{-51}\)）

初始角	\(n\)	\(S_n\) 实测	闭式
\((60,60,60)\)	\(0\)	\(1.2990381057\)	\(1.2990381057\)
	\(2\)	\(0.0811898816\)	\(0.0811898816\)
	\(4\)	\(0.0050743676\)	\(0.0050743676\)
\((50,60,70)\)	\(1\)	\(0.2741066625\)	\(0.2741066625\)
	\(3\)	\(0.0059497653\)	\(0.0059497653\)
	\(5\)	\(0.0005697231\)	\(0.0005697231\)
\((100,40,40)\)	\(2\)	\(0.0093989833\)	\(0.0093989833\)
	\(5\)	\(0.0001468591\)	\(0.0001468591\)

8.3 角平分线足迭代

表 4：角平分线足迭代：\(\lambda=\lim 4^nS_n/S_0\) 与 \(\delta_{n+1}/\delta_n\)

初始角	\(\lambda=\displaystyle\lim_{n\to\infty}4^nS_n/S_0\)	\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\delta_{n+1}/\delta_n\)
\((60,60,60)\)	\(1.0000000000\)	—（\(\delta\equiv0\)）
\((50,60,70)\)	\(0.9994849066\)	\(0.2500000\)
\((36.87,53.13,90)\)	\(0.9944604913\)	\(0.2500000\)
\((100,40,40)\)	\(0.9883005872\)	\(0.2500000\)
\((10,20,150)\)	\(0.8759632353\)	\(0.2500000\)

[!note] 注记
表 4 中 \(\lambda\) 随初始三角形偏离等边的程度单调下降，且 \(\delta_{n+1}/\delta_n\to0.25\) 与定理 6.5 一致。

表 5：引理 6.3（Jacobian）与命题 6.4（\(\rho\) 的二阶系数）的高精度数值验证（40 位精度）

步长 \(x\)	方向 \((x,-x,0)\)：\(\dfrac{u'}{x}\)	方向 \((x,x,-2x)\)：\(\dfrac{u'}{x}\)	方向 \((x,-x,0)\)，\(\Sigma=2x^2\)	方向 \((x,x,-2x)\)，\(\Sigma=6x^2\)
\(10^{-3}\)	\(0.25010832\)	\(0.24967543\)	\(0.0312500365\)	\(0.0313222783\)
\(10^{-4}\)	\(0.25001083\)	\(0.24996753\)	\(0.0312500004\)	\(0.0312572180\)
\(10^{-5}\)	\(0.25000108\)	\(0.24999675\)	\(0.0312500000\)	\(0.0312507217\)
\(10^{-6}\)	\(0.25000011\)	\(0.24999968\)	—	—
理论极限	\(\frac14=0.25\)		\(\frac1{32}=0.03125\)

[!note] 注记
表 5 中两个独立方向给出同一极限，印证了引理 6.3 证明中的 Schur 论证（Jacobian 必为标量乘恒等）；\(\dfrac{\frac14-\rho}{\Sigma}\) 收敛到 \(\frac1{32}\)，与命题 6.4 的解析展开完全一致。

附录：验证代码

from mpmath import mp, mpf, sin, cos, sqrt, pi, acos, fabs
mp.dps = 40

def from_angles(Ad, Bd, Cd, R=1):
    A = pi*mpf(Ad)/180; B = pi*mpf(Bd)/180; C = pi*mpf(Cd)/180
    a, b, c = 2*R*sin(A), 2*R*sin(B), 2*R*sin(C)
    Bv = (mpf(0), mpf(0)); Cv = (a, mpf(0))
    x = (a*a + c*c - b*b)/(2*a); Av = (x, sqrt(max(c*c-x*x, mpf(0))))
    return (Av, Bv, Cv)

def side(T):
    A, B, C = T
    f = lambda P, Q: sqrt((P[0]-Q[0])**2 + (P[1]-Q[1])**2)
    return f(B,C), f(C,A), f(A,B)

def area(T):
    A, B, C = T
    return fabs((B[0]-A[0])*(C[1]-A[1]) - (B[1]-A[1])*(C[0]-A[0]))/2

def foot(P, Q, Rp):                       # Rp 到直线 PQ 的垂足
    d = (Q[0]-P[0], Q[1]-P[1]); L2 = d[0]**2 + d[1]**2
    t = ((Rp[0]-P[0])*d[0] + (Rp[1]-P[1])*d[1])/L2
    return (P[0]+t*d[0], P[1]+t*d[1])

def orthic(T):
    A, B, C = T
    return (foot(A,B,C), foot(B,C,A), foot(C,A,B))

def bisector_feet(T):
    A, B, C = T; a, b, c = side(T)
    D = ((b*B[0]+c*C[0])/(b+c), (b*B[1]+c*C[1])/(b+c))   # from A
    E = ((a*A[0]+c*C[0])/(a+c), (a*A[1]+c*C[1])/(a+c))   # from B
    F = ((a*A[0]+b*B[0])/(a+b), (a*A[1]+b*B[1])/(a+b))   # from C
    return (D, E, F)

def angles_of(T):
    a, b, c = side(T)
    A = acos((b*b+c*c-a*a)/(2*b*c)); B = acos((a*a+c*c-b*b)/(2*a*c))
    return A, B, pi-A-B

# --- 定理 5.3: 垂足迭代面积闭式 ---
T = from_angles(50, 60, 70); R = 1
A0, B0, C0 = angles_of(T)
for n in range(6):
    if n > 0: T = orthic(T)
    Sn = area(T)
    pred = 2*R**2/mpf(4)**n * fabs(sin(mpf(2)**n*A0)*sin(mpf(2)**n*B0)*sin(mpf(2)**n*C0))
    print(n, Sn, pred, fabs(Sn-pred))     # 误差 ~1e-51

# --- 定理 6.1/6.5: 角平分线足迭代 ---
T = from_angles(10, 20, 150); S0 = area(T); lam = mpf(1)
for n in range(14):
    a, b, c = side(T)
    rho = 2*a*b*c/((a+b)*(b+c)*(c+a))
    if n > 0: lam *= 4*rho
    T = bisector_feet(T)
print('lambda =', lam)                    # 0.8759632353...

参考文献

• [[Heron1921]] T. L. Heath, A History of Greek Mathematics, Vol. II, Oxford, 1921.
• [[Johnson1960]] R. A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Dover, 1960.
• [[Bottema1969]] O. Bottema 等, Geometric Inequalities, Groningen, 1969.
• [[Coxeter1967]] H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry Revisited, MAA, 1967.（九点圆与垂足三角形）
• [[Fagnano1775]] J. F. F. Fagnano, 1775.（垂足三角形周长最小的内接三角形）