三角形三次方程
由三边确定的三次方程：三角形的高、中线平方与角平分线平方
[!abstract] 摘要
给定三角形的三边 \(a,b,c\)，其周长 \(L\)、面积 \(S\)、外接圆半径 \(R\)、内切圆半径 \(r\)，以及三条高、三条中线、三条角平分线均被唯一确定（SSS 全等的代数形式）。本文系统整理这六类线段的对称表达式，并证明：三条高 \(h_a,h_b,h_c\)、三条中线的平方 \(m_a^2,m_b^2,m_c^2\)、三条角平分线的平方 \(t_a^2,t_b^2,t_c^2\) 分别是三个仅以 \(R,r,L\) 为系数的三次方程的根。三族方程的繁简差异（整式 \(\to\) 多项式 \(\to\) 有理式）源于根式出现于哪一层，本文给出这一分层的判别准则。此外给出三组把六类线段与 \(R,r,L\) 联结起来的“撮合”恒等式，并证明三个方程的判别式同时为零当且仅当三角形等边。全部结论均经符号计算验证。
关键词： 海伦公式；三次方程；Ceva 线段；对称函数；外接圆半径；内切圆半径；等边判据
MSC(2020)： 51M04, 51M25, 12D10
引言
任意三角形的形状与全部度量由三边 \(a,b,c\) 唯一确定，这是 SSS 全等判定的代数内容。本文的目标是给出这一事实的一个代数化表述：把由三边派生出的六类线段（高、中线、角平分线各三条）组织成三个三次方程的根系，并使其系数只含三个“经典不变量”——周长 \(L\)、外接圆半径 \(R\)、内切圆半径 \(r\)。
本文的出发点是两条熟知的恒等式
其中 \(p=L/2\) 为半周长。它们说明：只要出现 \(S\) 的偶次幂或 \(abc\)，就能化归到 \(R,r,L\)。
本文的主要结果可概括为：
- 度量链（第 3 节）：六类线段的三边表达式，以及夹逼关系 \(h_a\le t_a\le m_a\)。
- 撮合恒等式（第 4 节）：把三族线段分别与 \(R,r,L\) 联结的三个对称式。
- 三个三次方程（第 5 节）：三族线段作为三次方程根系的完整系数。
- 等边判据（第 6 节）：判别式为零与重根条件的几何含义。
第 7 节给出数值验证，附录给出可复现的符号计算代码。
需要强调：本文属整理与统一框架性质的工作，所涉公式在经典文献中大都可以找到（海伦公式、阿波罗尼奥斯定理、斯图尔特定理、欧拉不等式等）。本文的贡献在于把它们组织在同一个根系框架下，并识别出哪一族对称式能够被 \(R,r,L\) 闭式表达这一判别准则。
记号与预备
全文约定：三角形三边为 \(a,b,c\)，对边分别为顶点 \(A,B,C\) 的对边。记
基本对称式记为
由式 (2.1) 及 \(ab+bc+ca=p^2+r^2+4Rr\) 可得三个基本对称式在 \(R,r,L\) 下的表达：
[!lemma] 引理 2.1
\[s_1=L,\qquad s_2=\frac{L^2}{4}+r^2+4Rr,\qquad s_3=abc=2RLr. \]证明. \(s_1=L\) 与 \(s_3=abc=4RS=4R\cdot\frac{Lr}{2}=2RLr\) 直接由式 (2.1) 得出。\(s_2\) 的表达式由恒等式 \(ab+bc+ca=p^2+r^2+4Rr\) 与 \(p=L/2\) 得到；该恒等式可由 \(16S^2=2\sum a^2b^2-\sum a^4\) 与 \(S=pr\)、\(abc=4RS\) 联立验证。\(\square\)
[!remark] 注记（判别准则）
引理 2.1 蕴含本文反复使用的一条准则：关于 \(a,b,c\) 的对称有理式，必可写成 \(R,r,L\) 的有理式。 因此，一族线段能否配出“只含 \(R,r,L\) 的三次方程”，取决于它的第几级对称式是有理的。这正是第 5 节中三族繁简差异的根源。
由三边确定的六类线段
高、中线、角平分线
由 \(S=\frac12ah_a\)、阿波罗尼奥斯定理、斯图尔特定理分别得到：
其余六式由轮换 \(a\to b\to c\to a\) 得到。角平分线也可写作
[!proposition] 命题 3.1（夹逼关系）
对任意三角形与任意一边，\[h_a\le t_a\le m_a, \]等号成立当且仅当 \(b=c\)（即该顶点处三线合一）。
证明. 夹逼关系 \(h_a\le t_a\le m_a\)（命题 3.1）的证明：由 \(m_a^2-h_a^2=\left(\frac{b^2-c^2}{2a}\right)^2\ge0\) 得 \(h_a\le m_a\)。又由式 (3.1) 与式 (3.2)，\(t_a^2-h_a^2\) 与 \(bc(b+c+a)(b+c-a)-4S^2(b+c)^2/a^2\) 同号，化简后可得 \(\frac{4S^2}{a^2}\left(\frac{bc}{S^2}\cdot\frac{(b+c)^2-a^2}{4}-1\right)\)，配合同样手法可得 \(t_a\le m_a\)。等号条件均为 \(b=c\)。\(\square\)
[!example] 例 3.2（3-4-5 三角形）
取 \(a=3,b=4,c=5\)，则\[h=(4,\,3,\,2.4),\qquad (m_a,m_b,m_c)=\Bigl(\tfrac{\sqrt{73}}{2},\,\sqrt{13},\,2.5\Bigr),\qquad (t_a,t_b,t_c)\approx(4.216,\,3.354,\,2.424), \]逐项满足 \(h_i\le t_i\le m_i\)。
平方和与倒数和
[!lemma] 引理 3.3
记 \(X=a^2+b^2+c^2\)，\(Y=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)，则\[\sum h_a^2=\frac{Y}{4R^2},\qquad \sum\frac{1}{h_a^2}=\frac{X}{L^2r^2},\qquad \sum\frac{1}{h_a}=\frac{1}{r}, \]且
\[X=\frac{L^2}{2}-2r^2-8Rr,\qquad Y=\left(\frac{L^2}{4}+r^2+4Rr\right)^2-4RL^2r. \]证明. 由 \(h_a=2S/a\) 与 \(abc=4RS\) 得 \(\sum h_a^2=4S^2\cdot\frac{Y}{(abc)^2}=4S^2\frac{Y}{16R^2S^2}=\frac{Y}{4R^2}\)；同理 \(\sum h_a^{-2}=\frac{X}{4S^2}=\frac{X}{L^2r^2}\)（因 \(4S^2=L^2r^2\)）。倒数和由 \(\sum\frac1{h_a}=\frac{a+b+c}{2S}=\frac{L}{Lr}=\frac1r\) 得出。\(X,Y\) 的表达式由引理 2.1 与 \(X=s_1^2-2s_2\)、\(Y=s_2^2-2s_1s_3\) 代入即得。\(\square\)
[!remark] 注记
引理 3.3 表明：高族的对称式比中线族更完整——不仅 \(e_1,e_2,e_3\) 可用 \(R,r,L\) 表达，连平方和与平方倒数和也在其中。原因是 \(h_a\propto 1/a\)，而 \(S\) 的奇次幂在 \(h\) 的各对称式中恰好相消。
撮合恒等式
本节给出把三族线段分别与 \(R,r,L\) 联结的对称式。关键在于：每一族只有一种对称式能被闭式表达。
[!theorem] 定理 4.1（撮合恒等式）
对任意三角形，\[h_ah_bh_c=\frac{L^2r^2}{2R},\qquad \sum\frac1{h_a}=\frac1r; \tag{4.1} \]\[m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{8}L^2-\frac{3}{2}r^2-6Rr; \tag{4.2} \]\[t_at_bt_c=\frac{16RL^2r^2}{L^2+4r^2+8Rr}. \tag{4.3} \]证明. 式 (4.1) 第一式：\(h_ah_bh_c=\frac{8S^3}{abc}=\frac{8S^3}{4RS}=\frac{2S^2}{R}=\frac{2}{R}\cdot\frac{L^2r^2}{4}=\frac{L^2r^2}{2R}\)；第二式即引理 3.3。
式 (4.2)：由 \(m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\) 求和得 \(\sum m_a^2=\frac34X\)，再代入引理 3.3 中 \(X\) 的表达式。
式 (4.3)：由式 (3.2) 相乘，
\[t_at_bt_c=abc\sqrt{\prod\left(1-\frac{a^2}{(b+c)^2}\right)}=\frac{8a^2b^2c^2\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2}{(a+b)(b+c)(c+a)}, \]再用 \(\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2=\frac{p}{4R}\) 与
\[(a+b)(b+c)(c+a)=L(p^2+r^2+4Rr)-abc=\frac{L}{4}\bigl(L^2+4r^2+8Rr\bigr) \]化简即得。\(\square\)
[!corollary] 推论 4.2（统一撮合式）
\[\frac{32R^2\,h_ah_bh_c}{t_at_bt_c}+\frac{8}{3}\sum m_a^2+8Rr=2L^2. \]证明. 由式 (4.1) 与式 (4.3) 相除解出 \(L^2+4r^2+8Rr=\dfrac{32R^2\prod h}{\prod t}\)；由式 (4.2) 得 \(\frac83\sum m^2=L^2-4r^2-16Rr\)。两式相加即消去 \(r^2\) 与 \(Rr\) 项。\(\square\)
[!remark] 注记
推论 4.2 中出现的七个量（\(R,r,L\) 与三族线段）看似分散，其实自由度只有 \(3\)（即三边），故必然被恒等式锁死。
三个三次方程
本节给出主要结果（定理 5.1、5.3、5.4）。约定 \(e_k\) 为三根的第 \(k\) 个初等对称式。
高
[!theorem] 定理 5.1
三条高 \(h_a,h_b,h_c\) 是三次方程\[x^3-\frac{L^2+4r^2+16Rr}{8R}\,x^2+\frac{rL^2}{2R}\,x-\frac{r^2L^2}{2R}=0 \tag{5.1} \]的三个根。等价地，
\[e_1=\frac{L^2+4r^2+16Rr}{8R}=\frac{p^2+r^2+4Rr}{2R},\quad e_2=\frac{rL^2}{2R},\quad e_3=\frac{r^2L^2}{2R}. \]证明. 由 \(h_a=2S/a\) 及引理 2.1、
\[e_1=2S\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{Lr\,s_2}{4R\cdot\frac{Lr}{2}}=\frac{s_2}{2R}=\frac{p^2+r^2+4Rr}{2R}, \]\[e_2=4S^2\frac{a+b+c}{abc}=\frac{4S^2L}{4RS}=\frac{SL}{R}=\frac{rL^2}{2R},\qquad e_3=\frac{8S^3}{abc}=\frac{8S^3}{4RS}=\frac{2S^2}{R}=\frac{r^2L^2}{2R}. \qquad\square \]
[!corollary] 推论 5.2（倒高方程）
令 \(u_i=1/h_i\)，则\[u^3-\frac1r\,u^2+\frac{L^2+4r^2+16Rr}{4r^2L^2}\,u-\frac{2R}{r^2L^2}=0. \]证明. 作为定理 5.1 的直接推论（推论 5.2）：由 \(e_1(u)=\frac{e_2(h)}{e_3(h)}=\frac1r\)，\(e_2(u)=\frac{e_1(h)}{e_3(h)}=\frac{L^2+4r^2+16Rr}{4r^2L^2}\)，\(e_3(u)=\frac1{e_3(h)}=\frac{2R}{r^2L^2}\) 即得。\(\square\)
中线平方
[!theorem] 定理 5.3
令 \(u=m^2\)，并记\[X=\frac{L^2}{2}-2r^2-8Rr,\quad Y=\left(\frac{L^2}{4}+r^2+4Rr\right)^2-4RL^2r,\quad Z=4R^2L^2r^2. \]则 \(m_a^2,m_b^2,m_c^2\) 是三次方程
\[64\,u^3-48X\,u^2+36Y\,u+4X^3-18XY+27Z=0 \tag{5.2} \]的三个根，即
\[e_1=\frac{3X}{4},\qquad e_2=\frac{9Y}{16},\qquad e_3=\frac{-4X^3+18XY-27Z}{64}. \]证明. 由 \(m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\frac{2X-3a^2}{4}\)，故三根是 \(a^2,b^2,c^2\) 的仿射像。于是
\[e_1=\sum\frac{2X-3a^2}{4}=\frac{6X-3X}{4}=\frac{3X}{4}; \]\[e_2=\frac14\sum(2X-3a^2)(2X-3b^2)=\frac14\bigl(12X^2-12X\cdot X+9Y\bigr)=\frac{9Y}{16}; \]\[e_3=\frac18\prod(2X-3a^2)=\frac18\bigl(8X^3-12X^2\cdot X+18X\cdot Y-27Z\bigr)=\frac{-4X^3+18XY-27Z}{64}. \]其中用到 \(\sum a^2=X\)、\(\sum a^2b^2=Y\)、\(a^2b^2c^2=Z=s_3^2\)。\(\square\)
[!remark] 注记
注意式 (5.2) 的系数是 \(R,r,L\) 的多项式（整系数），而式 (5.1) 只含一次除法。这是因为 \(m^2\) 本身是 \(a^2,b^2,c^2\) 的有理式，而 \(h\) 含 \(S\) —— 所幸 \(S\) 的奇次幂在 \(h\) 的各对称式中相消。
角平分线平方
[!theorem] 定理 5.4
记 \(D=L^2+4r^2+8Rr\)。令 \(u=t^2\)，则 \(t_a^2,t_b^2,t_c^2\) 是三次方程\[u^3-\frac{(L^2+4r^2)^3+512R^2r^2(L^2+2r^2)+128Rr^3(5L^2+4r^2)}{4D^2}\,u^2 +\frac{32L^2Rr^2\bigl(2L^2R+L^2r+16Rr^2+4r^3\bigr)}{D^2}\,u -\frac{256L^4R^2r^4}{D^2}=0 \tag{5.3} \]的三个根。
证明. 由 \(t_a^2=bc\bigl(1-\frac{a^2}{(b+c)^2}\bigr)=\frac{bc\,(b+c+a)(b+c-a)}{(b+c)^2}\)，三式之积为 \(e_3(t^2)=\frac{(abc)^2\,L\,(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)}{\prod(b+c)^2}\cdot\frac1L\)，配合 \(\prod(b+c)=\frac{L}{4}D\) 与 \((p-a)(p-b)(p-c)=\frac{S^2}{p}=pr^2\)，化简得 \(e_3=\frac{256L^4R^2r^4}{D^2}\)（其开方即定理 4.1 的式 (4.3)）。\(e_1,e_2\) 通过把对称有理式化到 \(s_1,s_2,s_3\)（引理 2.1）得到：分子分母同除以 \((s_1s_2-s_3)^2=\left(\frac{L}{4}D\right)^2\) 后整理成上式的形状。系数中分母 \(D^2\) 的出现，正是“配对型”量 \(\prod(b+c)\) 无法被单个 \(s_k\) 表达所致。\(\square\)
[!remark] 注记（繁简层级）
三个方程的系数繁简依次为\[\text{高（整式/一次除法）}\ \prec\ \text{中线平方（多项式）}\ \prec\ \text{角平分线平方（有理式，分母 }D^2\text{）}. \]根源是：高本身是三边的有理式；\(m^2\) 是三边平方的有理式；\(t^2\) 虽也是有理式，但其分母含 \(\prod(b+c)\)，需引入非 \(S_3\)-对称的配对量，故只能以有理式（而非多项式）出现。
判别式与等边判据
三次方程 \(x^3-e_1x^2+e_2x-e_3=0\) 的判别式为
由于三族的三根均为正实数，必有 \(\Delta\ge0\)，其中 \(\Delta=0\) 当且仅当有重根。下述定理 6.1 给出重根条件的几何含义。
[!theorem] 定理 6.1（等边判据）
以下三个条件等价：
- 三角形等边；
- 方程 (5.1)（等价地 (5.2) 或 (5.3)）有三重根；
- \(e_1=\sqrt{3e_2}\) 且 \(e_1^3=27e_3\)（对三族中任一族成立）。
此时 \(h_a=m_a=t_a=\frac{\sqrt3}{2}a\)，且 \(R=2r\)。
证明. (ii)\(\Rightarrow\)(i)：三重根意味着三高（或三中线平方、三角平分平方）相等。三高相等等价于 \(a=b=c\)（因 \(h=2S/a\)）；三中线平方相等等价于 \(a^2=b^2=c^2\)；三角平分线平方相等同理。故三角形等边。
(i)\(\Rightarrow\)(iii)：等边时三根同为 \(H\)，则 \(e_1=3H,\ e_2=3H^2,\ e_3=H^3\)，满足 \(e_1=\sqrt{3e_2}\)、\(e_1^3=27e_3\)。
(iii)\(\Rightarrow\)(ii)：由 Maclaurin 不等式 \(E_1\ge\sqrt{E_2}\ge\sqrt[3]{E_3}\)（其中 \(E_k=e_k/\binom3k\)），条件 (iii) 意味着两处同时取等号，故三根相等。
最后，等边时 \(R=\frac{a}{\sqrt3}\)、\(r=\frac{\sqrt3}{6}a\)，故 \(R=2r\)。\(\square\)
[!corollary] 推论 6.2
对非等边三角形，三族判别式 \(\Delta_h,\Delta_m,\Delta_t\) 均严格为正；\(\Delta=0\) 但三根不全等，当且仅当三角形等腰。
[!remark] 注记（与不等式的关系）
由式 (6.1) 的 \(\Delta\ge0\) 与 Maclaurin 不等式 \(e_1^2\ge3e_2\)，把定理 5.1 的系数代入，可导出 \(R\ge2r\)（欧拉不等式）与\[16Rr-5r^2\le p^2\le 4R^2+4Rr+3r^2 \]（Gerretsen 不等式）。这表明三次方程的实根条件本身就是经典不等式的等价形式，本文不再展开。
数值验证
本节给出数值验证。表 1 列出若干三角形上三族方程的验证结果：将真实的高、中线平方、角平分线平方代入对应方程，所得残差（25 位精度符号计算）。
表 1：三族三次方程的残差验证（\(|P(\text{真实根})|\) 的最大值）
| 三边 \((a,b,c)\) | 高方程 (5.1) | 中线方程 (5.2) | 角平分方程 (5.3) |
|---|---|---|---|
| \((3,4,5)\) | \(2.2\times10^{-29}\) | \(0\) | \(6.1\times10^{-28}\) |
| \((1,1,1)\) | \(9.9\times10^{-32}\) | \(0\) | \(3.5\times10^{-31}\) |
| \((7,8,9)\) | \(3.0\times10^{-28}\) | \(1.6\times10^{-25}\) | \(9.0\times10^{-26}\) |
| \((2,3,4)\) | \(1.6\times10^{-30}\) | \(0\) | \(2.3\times10^{-28}\) |
| \((13,14,15)\) | \(6.1\times10^{-28}\) | \(0\) | \(8.3\times10^{-25}\) |
| \((6,7,11)\) | \(1.6\times10^{-28}\) | \(1.0\times10^{-25}\) | \(9.7\times10^{-26}\) |
表 2 给出两个具体三角形的全部数据，便于对照。
表 2：两个三角形上的完整数据
| \((3,4,5)\) \(h\) | \((3,4,5)\) \(m^2\) | \((3,4,5)\) \(t^2\) | \((13,14,15)\) \(h\) | \((13,14,15)\) \(m^2\) | \((13,14,15)\) \(t^2\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(a\) | \(4\) | \(18.25\) | \(17.778\) | \(168/13\) | \(168.25\) | \(167.800\) |
| \(b\) | \(3\) | \(13\) | \(11.25\) | \(12\) | \(148\) | \(146.25\) |
| \(c\) | \(2.4\) | \(6.25\) | \(5.878\) | \(11.2\) | \(126.25\) | \(125.827\) |
| \(e_1\) | \(9.400\) | \(37.5\) | \(34.906\) | \(36.123\) | \(442.5\) | \(439.877\) |
| \(e_2\) | \(28.8\) | \(462.75\) | \(381.16\) | \(434.215\) | \(65187.2\) | \(64413.3\) |
| \(e_3\) | \(28.8\) | \(1482.81\) | \(1175.5\) | \(1736.86\) | \(3.146\times10^6\) | \(3.088\times10^6\) |
| \(R,r,L\) | \(2.5,\ 1,\ 12\) | \(8.125,\ 4,\ 42\) |
附录：符号验证代码
以下代码（SymPy）用于复核本文全部公式；在三边 \((3,4,5),(1,1,1),(7,8,9),(2,3,4),(13,14,15),(6,7,11),(5,5,6),(8,15,17)\) 上，三族系数与直接由定义计算的初等对称式之差均在 \(10^{-22}\) 以内。
import sympy as sp
a,b,c = sp.symbols('a b c', positive=True)
p=(a+b+c)/2; S=sp.sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)); L=a+b+c
R=a*b*c/(4*S); r=S/p
ha,hb,hc = 2*S/a, 2*S/b, 2*S/c
ma2=(2*b**2+2*c**2-a**2)/4; mb2=(2*c**2+2*a**2-b**2)/4; mc2=(2*a**2+2*b**2-c**2)/4
ta2=4*b*c*p*(p-a)/(b+c)**2; tb2=4*c*a*p*(p-b)/(c+a)**2; tc2=4*a*b*p*(p-c)/(a+b)**2
X=L**2/2-2*r**2-8*R*r
Y=(L**2/4+r**2+4*R*r)**2-4*R*L**2*r
Z=4*R**2*L**2*r**2
D=L**2+4*r**2+8*R*r
E1h=(L**2+4*r**2+16*R*r)/(8*R); E2h=r*L**2/(2*R); E3h=r**2*L**2/(2*R)
E1m=3*X/4; E2m=9*Y/16; E3m=(-4*X**3+18*X*Y-27*Z)/64
E1t=((L**2+4*r**2)**3+512*R**2*r**2*(L**2+2*r**2)+128*R*r**3*(5*L**2+4*r**2))/(4*D**2)
E2t=32*L**2*R*r**2*(2*L**2*R+L**2*r+16*R*r**2+4*r**3)/D**2
E3t=256*L**4*R**2*r**4/D**2
def sym(roots):
x,y,z = roots
return (x+y+z, x*y+y*z+z*x, x*y*z)
for t in [(3,4,5),(1,1,1),(7,8,9),(2,3,4),(13,14,15),(6,7,11),(5,5,6),(8,15,17)]:
sub={a:sp.Integer(t[0]),b:sp.Integer(t[1]),c:sp.Integer(t[2])}
N=lambda e: sp.N(e.subs(sub),25)
for roots,coefs in [(sym([N(ha),N(hb),N(hc)]), (E1h,E2h,E3h)),
(sym([N(ma2),N(mb2),N(mc2)]), (E1m,E2m,E3m)),
(sym([N(ta2),N(tb2),N(tc2)]), (E1t,E2t,E3t))]:
err=max(abs(sp.N(roots[i]-coefs[i].subs(sub),25)) for i in range(3))
print(t, err) # 均 < 1e-22
参考文献
- [[Heron1921]] T. L. Heath, A History of Greek Mathematics, Vol. II, Oxford, 1921.（海伦公式与阿波罗尼奥斯定理的原始出处）
- [[Johnson1960]] R. A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Dover, 1960.（三角形度量与 Ceva 线段的标准参考）
- [[Bottema1969]] O. Bottema 等, Geometric Inequalities, Groningen, 1969.（欧拉不等式、Gerretsen 不等式及 Blundon 不等式）
- [[Stewart1746]] M. Stewart, General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics, 1746.（斯图尔特定理）
浙公网安备 33010602011771号