数列极限定义(续)

Abstract（摘要）

本篇文章所示的习题都可以用极限的\(\varepsilon\)-\(N\)定义覆盖。

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Table of Contents（目录）

1. 1. 问题陈述（Problem Statement）
2. 2. 预备知识（Preliminaries）
3. 3. 主要结果与证明（Main Result & Proof）
4. 4. 注记与讨论（Remarks & Discussion）
5. 5. 相关拓展（Related Extensions）
6. 6. 参考文献（References）

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1. 问题陈述（Problem Statement）

1. 设 \(x \to 0\) 时，\(f(x) \sim x\)，\(x_n = \sum_{i=1}^n f\left( \frac{2i-1}{n^2}a \right).\)
   试证 \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a \ (a>0)\)。

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\[\lim\limits_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n \left( 1 + \frac{2i-1}{n^2}a^2 \right) = e^{a^2}； \]

\[\lim\limits_{n \to \infty} \prod_{i=1}^{n+1} \cos \frac{\sqrt{2i-1}}{n}a^2 = e^{-\frac{a^4}{2}}. \]

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3. 设 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a\)，试证:

\[\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} \left( a_0 + \mathrm{C}_n^1 a_1 + \mathrm{C}_n^2 a_2 + \dots + \mathrm{C}_n^k a_k + \dots + a_n \right) = a. \]

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2. 预备知识（Preliminaries）

极限的$\varepsilon$-$N$定义

绝对值不等式

等价无穷小

等差数列求和

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3. 主要结果与证明（Main Result & Proof）

1. 设 $x \to 0$ 时，$f(x) \sim x$，$x_n = \sum_{i=1}^n f\left( \frac{2i-1}{n^2}a \right)$。 试证 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a \ (a>0)$。

证明:

由极限的\(\varepsilon\)-\(N\)定义先分析$|x_n - a| $

\[|x_n - a| = \left| \sum_{i=1}^n f\left( \frac{2i-1}{n^2}a \right) - \sum_{i=1}^n \frac{2i-1}{n^2}a \right| \]

\[\leq \sum_{i=1}^n \left| f\left( \frac{2i-1}{n^2}a \right) - \frac{2i-1}{n^2}a \right| \]

若对\(\forall \varepsilon>0\) ，要求$$\left| f\left( \frac{2i-1}{n^2}a \right) - \frac{2i-1}{n^2}a \right| < \frac{2i-1}{n^2}\varepsilon$$，即$$\left| \frac{f\left( \frac{2i-1}{n^2}a \right)}{\frac{2i-1}{n^2}a} - 1 \right| < \frac{\varepsilon}{a}$$

由条件\(x \to 0\) 时，\(f(x) \sim x\)可知，$ \exists \delta>0$，当 \(x \in U^\circ(0,\delta)\) 时

\[\left| \frac{f(x)}{x} - 1 \right| < \frac{\varepsilon}{a} \]

对上述 \(\varepsilon>0\)， \(\exists\)\(N = \frac{2a}{\delta} > 0\)，当 \(n>N\) 时

\[(0 < \frac{2i-1}{n^2}a < \frac{2i}{n^2}a \leq \frac{2n}{n^2}a =\frac{2a}{n} < \delta) \]

故 $$\sum_{i=1}^n \left| f\left( \frac{2i-1}{n^2}a \right) - \frac{2i-1}{n^2}a \right| < \sum_{i=1}^n \frac{2i-1}{n^2}\varepsilon = \varepsilon .\Box$$

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\[\lim\limits_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n \left( 1 + \frac{2i-1}{n^2}a^2 \right) = e^{a^2}； \]

\[\lim\limits_{n \to \infty} \prod_{i=1}^{n+1} \cos \frac{\sqrt{2i-1}}{n}a^2 = e^{-\frac{a^4}{2}}. \]

证明:第二题和第一题的证法完全一样，只是涉及到了具体的函数，如第一个问题两边取\(e\)为底的对数，左边连乘变连加，且得到函数\(ln(1+x)\)，利用\(x \to 0\) 时，\(ln(1+x)\sim x\)即可解决
而第二个问题涉及得到等价无穷小更隐蔽一些，同样的，两边取\(e\)为底的对数，得到函数\(lncosx\),而由\(cosx\sim 1-\dfrac{x^2}{2}\)可知\(lncosx\sim -\dfrac{x^2}{2}\)，但总归是等价无穷小的具体函数例子，证法同第一问。
3. 设 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a\)，试证:
\( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} \left( a_0 + \mathrm{C}_n^1 a_1 + \mathrm{C}_n^2 a_2 + \dots + \mathrm{C}_n^k a_k + \dots + a_n \right) = a. \)
证明概要:

\[(1+1)^n = 1 + \mathrm{C}_n^1 + \mathrm{C}_n^2 + \dots + \mathrm{C}_n^n \]

\[|x_n - a| = \left| \frac{a_0 + \mathrm{C}_n^1 a_1 + \dots + \mathrm{C}_n^k a_k + \dots + \mathrm{C}_n^n a_n - a - \mathrm{C}_n^1 a - \dots - \mathrm{C}_n^k a - \dots - \mathrm{C}_n^n a}{1 + \mathrm{C}_n^1 + \dots + \mathrm{C}_n^n} \right| \]

\[\leq \frac{|a_0 - a| + \mathrm{C}_n^1 |a_1 - a| + \dots + \mathrm{C}_n^k |a_k - a| + \dots + \mathrm{C}_n^n |a_n - a|}{1 + \mathrm{C}_n^1 + \dots + \mathrm{C}_n^n} \]

\[\leq \frac{|a_0 - a| + \dots + \mathrm{C}_n^{N} |a_{N} - a|}{n} + \frac{\left( \mathrm{C}_n^{N+1} + \dots + \mathrm{C}_n^n \right) \varepsilon}{1 + \mathrm{C}_n^1 + \dots + \mathrm{C}_n^n} \]

最后一步可参考https://www.cnblogs.com/math-notes/p/19966672这是经典的Cauchy命题。

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4. 注记与讨论（Remarks & Discussion）

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5. 相关拓展（Related Extensions）

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6. 参考文献（References）

数学分析中的典型问题与方法/裴礼文.-2版[M]北京:高等教育出版社,2006.4