关于对称阵与反对称阵的专题讨论

$\bf命题：$$n$阶实对称阵$A$的第一行乘以一个正数不改变其正特征值的个数

1

$\bf命题：$设$A$为实反对称阵且$B$为正定阵，则$\left| {A + B} \right| \ge \left| B \right|$

1

$\bf命题：$设$A$为实对称可逆阵，$B$为实反对称阵，$AB=BA$，证明：$A+B$可逆

1   2

$\bf命题：$设$A$为$n$阶实对称阵，$\lambda $为最大特征值，则$\frac{1}{n}\sum\limits_{i,j = 1}^n {{a_{ij}}}  \le \lambda $

1

$\bf命题：$设$n$元二次型$f\left( x \right) = {x^T}Ax,f\left( \alpha  \right) > 0,f\left( \beta  \right) < 0$，则存在线性无关的向量$\xi ,\eta $，使得$f\left( \xi  \right) = f\left( \eta  \right) = 0$

1

$\bf命题：$设$A,B$为实对称阵，证明：$tr(ABAB) \leqslant tr\left( {AABB} \right)$

1

$\bf命题：$

$\bf(14南开九)$设$A,B$均为反对称阵且$A$可逆，证明：$\left| {{A^2} - B} \right| > 0$

$\bf(05川大十二)$是否存在非零的反对称实矩阵$A$，使得$A$相似于一个实对角阵？证明你的结论