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$\bf命题1：$$n$阶实对称阵$A$的第一行乘以一个正数不改变其正特征值的个数
证明：设$B = diag\left( {k,{E_{n - 1}}} \right)A$，其中$k > 0$，则
\[\begin{array}{l}
diag\left( {\frac{1}{{\sqrt k }},{E_{n - 1}}} \right)Bdiag\left( {\sqrt k ,{E_{n - 1}}} \right)\\
= diag\left( {\sqrt k ,{E_{n - 1}}} \right)Adiag\left( {\sqrt k ,{E_{n - 1}}} \right) = C
\end{array}\]
由于$C$与$A$合同，则$C$与$A$有相同的正惯性指数，从而它们正特征值的个数相同；而$B$与$C$相似，故$B$与$A$正特征值的个数相同