方阵游戏 题解

方阵游戏 题解

这道题的模型转化非常巧妙

通过对操作净次数的讨论，转化成递推式，并通过差分计算答案

题意

• \(n \times n\) 方阵，初始仅 \(m\) 个非零格；每次操作选一个 \(k \times k\) 连续子方阵，整体 \(+1\) 或 \(-1\)。
• 求最少操作次数使全矩阵变 \(0\)，无解输出 \(-1\)。

核心转化：操作净次数

设 \(x_{i,j}\) 为以 \((i,j)\) 为左上角的 \(k \times k\) 操作的净值（\(+1\) 次数减 \(-1\) 次数，可正可负可为 \(0\)）。合法左上角：\(1 \le i, j \le n-k+1\)

显然：

• 代价：同位置的正负操作互相抵消，净值为 \(x\) 时最少恰好 \(|x|\) 次，故
  \(\text{ans} = \sum_{i,j} |x_{i,j}|\)

• 约束：格子 \((i,j)\) 被左上角位于 \([i-k+1,i] \times [j-k+1,j]\) 内的操作覆盖

• 即
  \(a_{i,j} + \sum_{p=i-k+1}^{i} \sum_{q=j-k+1}^{j} x_{p,q} = 0\)

解是唯一的

扫描到 \((i,j)\) 时：能影响它的操作的左上角满足 \(p \le i,\ q \le j\)；其中扫描顺序在 \((i,j)\) 之前的都已被定死，未确定的只剩 \(x_{i,j}\) 本身。

因此 \(x_{i,j}\) 被迫恰好抵消 \((i,j)\) 的当前残值，没有任何自由度：

• 整个方程组只有唯一候选解；
• 候选解合法 \(\Rightarrow\) 它就是答案（无需比较优劣）；
• 不合法 \(\Rightarrow\) 输出 \(-1\)。

前缀和优化

设 \(S_{i,j} = \sum_{p \le i,\ q \le j} x_{p,q}\)。

\(\sum_{\text{win}} x = S_{i,j} - S_{i-k,j} - S_{i,j-k} + S_{i-k,j-k}\)

代入约束 \(a_{i,j} + \sum_{\text{win}} x = 0\)，移项得 O(1) 递推：

\(S_{i,j} = -a_{i,j} + S_{i-k,j} + S_{i,j-k} - S_{i-k,j-k}\)

差分还原 & 合法性检查

递推完成后用差分还原：

\(x_{i,j} = S_{i,j} - S_{i-1,j} - S_{i,j-1} + S_{i-1,j-1}\)

逐格分类：

• 若 \((i,j)\) 在合法区（\(i,j \le n-k+1\)）：\(ans += abs(x)\)；
• 否则：若 \(x_{i,j} \ne 0\)，判无解输出 \(-1\)。

由递推唯一性，该检查必要且充分。

复杂度

\(O(n^2 + m)\)