笛卡尔树

笛卡尔树

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本质

笛卡尔树，就是一棵"递归地用最小值去划分区间"的二叉树。

给定一个序列，不断做这样一件事：

1. 找到整个序列的最小值，把它当作根；
2. 最小值左边的那段子序列，递归建成左子树；
3. 最小值右边的那段子序列，递归建成右子树。

这样得到的树，就是笛卡尔树。它把"区间最小值"这种信息，用树的结构显式地表达了出来

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递归定义

设序列为 \(a[1\dots n]\)（允许元素有重复），定义它的笛卡尔树：

• 若序列为空，对应空树；
• 否则，设 \(m\) 是 \(a\) 中最小值首次出现的位置
  • 根节点对应位置 \(m\)，权值为 \(a[m]\)；
  • 左子树 = \(a[1\dots m-1]\) 的笛卡尔树；
  • 右子树 = \(a[m+1\dots n]\) 的笛卡尔树。

例：\(a = [4, 1, 3, 2, 5]\)（下标 \(1\) 到 \(5\)）

• 全局最小值是 \(a[2]=1\)，根是下标 \(2\)；
• 左半段 \([4]\)（下标 \(1\)）建成左子树；
• 右半段 \([3,2,5]\) 的最小值是 \(a[4]=2\)，作为右子树根，其左 \([3]\)、右 \([5]\) 分别是它的左右儿子。

              2(值=1)              ← 全局最小值是根
             /        \
          1(值=4)     4(值=2)      ← 右半段 [3,2,5] 的最小值是 2
                     /      \
                   3(值=3)  5(值=5)

从递归定义立刻能看出两个重要事实：

• 中序遍历（左 - 根 - 右）恰好就是原序列顺序
• 根是全局最小值；每个节点的权值，都 ≤ 它整棵子树里的所有权值——这正是"小根堆"性质。

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二叉搜索树 + 堆

递归定义很直观，但更常用下面的等价定义

笛卡尔树的每个节点带两个键：

键	含义	满足的性质
key（键）	通常取为数组下标 \(i\)	满足二叉搜索树性质：左子树所有 key < 根，右子树所有 key > 根
value（权值）	取为数组元素 \(a[i]\)	满足小根堆性质：根的 value ≤ 子树内所有 value

即：中序遍历是下标的升序，权值自根向下单调不降（小根堆）。

这两条性质和上一节的递归定义是完全等价的：

• "key 满足 BST" \(\Longleftrightarrow\) 中序遍历就是下标顺序 \(1,2,\dots,n\)；
• "value 满足小根堆" \(\Longleftrightarrow\) 每个节点是它子树（一段连续区间）的最小值。

因此，一棵笛卡尔树同时是"按位置排好序"和"按大小分好层"的一棵树。

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性质

性质 1：中序遍历 = 原序列

性质 2：唯一性

性质 3：子树 = 一段连续区间

性质 4：节点是它子树区间的最小值

性质 5：区间最小值 = LCA

对任意区间 \([l, r]\)（\(l \le r\)），区间最小值的位置 = 节点 \(l\) 与节点 \(r\) 在笛卡尔树上的 LCA（最近公共祖先）。

这个性质把 RMQ问题 和 LCA 打通了，二者互为桥梁。

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单调栈 O(n) 建树

递归定义需要每次找"区间最小值"，如果每次都扫描是 \(O(n^2)\) 的。但我们可以用单调栈在线性时间内一次建好整棵树。

• 核心思想

从左到右逐个加入下标 \(i\)。始终维护一个栈，栈里存的是"当前已建成的树的右链"——也就是从根一路往右走的那条路径。并且这条右链上的权值是严格递增的（小根堆的要求：越靠根权值越小）。

加入新节点 \(i\) 时：

1. 弹栈：把栈顶权值 > \(a[i]\) 的节点全部弹出（它们比 \(i\) 大，不该待在 \(i\) 的上面），记最后一个弹出的节点为 last；
2. 挂右儿子：若栈非空，说明栈顶是第一个权值 ≤ \(a[i]\) 的节点，令 \(i\) 成为它的右儿子，显然，这一步满足\(MST\) 性质；
3. 挂 \(i\) 的左儿子：被弹出的那些节点（连同它们的子树）整体比 \(i\) 大，成为 \(i\) 的左儿子，即令 last 成为 \(i\) 的左儿子，显然，这一步也是满足 \(MST\) 性质的，因为这些节点都在 \(i\)之前被访问，且刚好连接；
4. 入栈：把 \(i\) 压入栈顶（继续维护右链）。

处理完所有下标后，栈底元素就是全局最小值，也就是根。

正确性

关键：每个节点只会"弹栈"一次，也只会"入栈"一次，所以总复杂度是 \(O(n)\)。

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模板

P5854 【模板】笛卡尔树

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll = long long;

const int N = 1e7 + 5;

ll n;
ll p[N];
ll ls[N], rs[N];

ll stk[N], top;
ll root;

void build() {
    top = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        ll lst = 0;

        while (top && p[stk[top]] > p[i]) lst = stk[top --];

        if (top) rs[stk[top]] = i;
        if (lst) ls[i] = lst;
        stk[++ top] = i;
    }

    root = stk[1];
}

int main () {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> p[i];

    build();

    ll x = 0, y = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        x = x ^ (i * (ls[i] + 1));
        y = y ^ (i * (rs[i] + 1));
    }

    cout << x << ' ' << y << '\n';

    return 0;
}

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其余用途

• 字典序最小的树遍历：某些"按权值限制、按位置构造"的树上问题，可直接落到笛卡尔树的结构上处理。
• 区间最值划分 DP：形如"每次取区间最小值把区间一分为二"的分治 DP，其递归树就是笛卡尔树，可在树上做树形 DP。

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注：

退化成链：当序列单调时（如严格递增），笛卡尔树是一条右链（或左链），深度 \(O(n)\)。此时若用递归需注意爆栈，改用非递归。

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总结

• 本质：笛卡尔树 = 用"区间最小值"递归划分序列得到的树。
• 双重结构：中序 = 原序列顺序（BST），权值 = 小根堆。
• 核心性质：区间 \([l,r]\) 的最小值位置 = LCA\((l,r)\)。
• 构建：单调栈 \(O(n)\)。
• 应用：最大子矩形、RMQ 与 LCA 互转、区间最小值划分类 DP。