P12960 毒药 题解

P12960 毒药 题解

\(n\) 瓶毒药、\(n\) 瓶解药排成一排，初始血量 \(0\)。喝 A 血量 \(+1\)；喝 P 时若血量 \(=0\) 则死，否则 \(-1\)。可任选若干瓶任意交换顺序，问有多少选法能活下来（对 \(10^9+7\) 取模）。

观察性质

打暴力可以发现：对固定的被选下标集合 \(S\)，最有利的排列是：把 \(S\) 中的解药放在被选位置的最前面，把 \(S\) 中的毒药放在被选位置的最后面。这样每个前缀的解药数都尽可能多；如果这种排列都致死，那 \(S\) 无论如何都不可能活。

因此只需按这种"最优排列"统计。其结构是：前面一段被选位置全是解药，后面一段被选位置全是毒药，第一个被选的毒药就是分界点，且对每个 \(S\) 唯一。

记长度 \(m=2n\)，令 \(a_i=1\)（位置 \(i\) 为 A）或 \(-1\)（位置 \(i\) 为 P）。

2. 前缀 DP \(f\)

定义 \(f_{i,j}\)：考虑前 \(i\) 个位置，把其中选中的位置都当作解药（+1），不选中的位置保持原值（\(a_i\)），要求过程中血量（前缀和）始终非负，且处理完前 \(i\) 个位置后血量为 \(j\) 的方案数。

第 \(i\) 个位置转移：

• 不选它：血量变化为实际值 \(a_i\)，由 \(f_{i-1,\,j-a_i}\) 转移（需 \(j\ge a_i\)）；
• 选它：当作解药，血量 \(+1\)，由 \(f_{i-1,\,j-1}\) 转移（需 \(j\ge 1\)）。

即

\[f_{i,j}=[j\ge a_i]\,f_{i-1,\,j-a_i}+[j\ge 1]\,f_{i-1,\,j-1} \]

越界或不满足非负的状态视为 \(0\)。初值 \(f_{0,0}=1\)。

3. 后缀 DP \(g\)

定义 \(g_{i,j}\)：考虑后缀 \([i,m]\)，把其中选中的位置都当作毒药（−1），不选中的位置保持原值，要求这个后缀的每个非空后缀中"毒药数 − 解药数"\(\ge 0\)，且整个后缀的该差值为 \(j\) 的方案数。从右往左转移：

• 不选它：由 \(g_{i+1,\,j+a_i}\) 转移（需 \(j + a_i\ge 0\)）；
• 选它：当作毒药，由 \(g_{i+1,\,j-1}\) 转移（需 \(j\ge 1\)）。

即

\[g_{i,j}=[j + a_i\ge 0]\,g_{i+1,\,j+a_i}+[j\ge 1]\,g_{i+1,\,j-1} \]

同样只保留 \(j\ge 0\) 的状态。初值 \(g_{m+1,0}=1\)。

4. 合并答案

按"最优排列里有没有出现被选的毒药"分类：

• 没有被选的毒药（所有选中位置都当解药）：方案由 \(f_{m,0}\) 统计；
• 有被选的毒药：设第一个被选的毒药在位置 \(i+1\)（\(0\le i\le m-1\)）。位置 \(1..i\) 选中位置全当解药，由 \(f_{i,j}\) 统计，且必须 \(j\ge 1\)（紧接要喝一瓶毒药，喝前血量至少 \(1\) 才能降到 \(\ge 0\)）；位置 \(i+1\) 是那瓶毒药，血量由 \(j\) 变 \(j-1\)；位置 \(i+2..m\) 选中位置全当毒药，由 \(g_{i+2,\,j-1}\) 统计。

分界点 \(i+1\) 对每种方案唯一，故直接相乘求和：

\[\mathrm{ans}=f_{m,0}+\sum_{i=0}^{m-1}\sum_{j=1}^{m}f_{i,j}\cdot g_{i+2,\,j-1}\pmod{10^9+7} \]

唯一性：若前缀里夹了被选的毒药（不是真正的"第一个"），按解药处理会虚增前缀血量，导致进入后缀时的 \(j-1\) 与实际不符，\(g\) 侧不会把它计为合法，因此不重复统计。

5. 复杂度

两个 DP 与合并均为 \(O(m^2)=O(n^2)\) 时间；

状态 \(O(m^2)\) 空间（约 \(6000^2\) 个 int，内存足够）。

6. AC code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll = long long;

const int N = 6e3 + 5;
const ll MOD = 1e9 + 7;

ll n; 
ll a[N];
string s;

int f[N][N], g[N][N];

int main () {
    freopen("poison.in", "r", stdin);
    freopen("poison.out", "w", stdout);

    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    cin >> n;
    cin >> s;

    s = '#' + s;

    for (int i = 1; i <= n * 2; i ++) {
        if (s[i] == 'A') a[i] = 1;
        else a[i] = -1;
    }

    f[0][0] = g[2 * n + 1][0] = 1;

    for (int i = 1; i <= n * 2; i ++) {
        for (int j = 0; j <= n * 2; j ++) {
            if (j >= a[i]) f[i][j] = f[i - 1][j - a[i]];
            if (j) f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j - 1]) % MOD;
        }
    }

    for (int i = n * 2; i >= 1; i --) {
        for (int j = 0; j <= n * 2; j ++) {
            if (j >= -a[i]) g[i][j] = g[i + 1][j + a[i]];
            if (j) g[i][j] = (g[i][j] + g[i + 1][j - 1]) % MOD;
        }
    }

    ll ans = f[2 * n][0];
    for (int i = 0; i <= n * 2 - 1; i ++) {
        for (int j = 1; j <= n * 2; j ++) {
            ans = (ans + 1ll * f[i][j] * g[i + 2][j - 1] % MOD) % MOD;
        }
    }

    cout << ans % MOD << '\n';

    return 0;
}

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总结

• 最优排列是"选中的解药全前、选中的毒药全后"

• 用前缀 DP（选中当解药）和后缀 DP（选中当毒药）分别计数，再以"第一个被选毒药"为分界点合并，即得答案。