P8365 [LNOI2022] 吃（贪心） 题解

P8365 [LNOI2022] 吃（贪心） 题解

算法：贪心

题目大意

给定 \(n\) 个二元组 \((a_i,b_i)\)，可以任意排列操作顺序。初始值 \(S=1\)，对每个二元组二选一：

\[S \leftarrow S+b_i \quad \text{或} \quad S \leftarrow S\times a_i \]

求最终能得到的最大值，答案对 \(10^9+7\) 取模。

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核心贪心策略推导

结论1：加法操作一定全部放在乘法之前

所有数值均为正数。
设当前值为 \(x>0\)，先加后乘：\((x+b)\cdot a\)；先乘后加：\(x\cdot a + b\)。
作差：

\[(x+b)a - (xa+b) = b(a-1) \]

因为 \(b\ge1,a\ge1\)，所以 \((x+b)a \ge xa+b\)。

推论：想要结果最大，所有加法必须排在乘法前面，操作顺序无需考虑其他排列。

结论2：\(a_i=1\) 时，必然选择加法

若 \(a_i=1\)：

• 乘法：\(S\times 1 = S\)，数值无变化
• 加法：\(S+b_i > S\)

因此所有 \(a_i=1\) 的二元组直接执行加法，累加到初始值，之后不再参与后续枚举。

结论3：\(a_i\neq 1\) 时，至多选择一个二元组做加法 ！

使用反证法：
假设对两个不同二元组 \((a_i,b_i),(a_j,b_j)\)（\(a_i,a_j\ge2\)）都执行加法，不妨设 \(b_i \ge b_j\)。
结合加法在前、乘法在后的规则，对比两种方案：

1. 两次都加法：\(S+b_i+b_j\)
2. 仅 \(b_i\) 加法、\(a_j\) 乘法：\((S+b_i)\cdot a_j\)

由于 \(a_j\ge2\)、\(b_i\ge b_j\)：

\[(S+b_i)\cdot a_j \ge (S+b_i)\cdot 2 = 2S+2b_i \ge S+b_i+b_j \]

显然第二次操作改为乘法更优。

推论：\(a_i\ge2\) 的二元组中，最多只选一个执行加法，其余全部执行乘法。

结论4：选出最优加法项

设：

• 预处理完所有 \(a_i=1\) 后，当前基数为 \(S\)；
• 记所有 \(a_i\ge2\) 的乘积为 \(K=\prod a_i\)。

1. 全部选乘法：结果为 \(S\cdot K\)
2. 选中第 \(i\) 个做加法、其余做乘法：结果为 \(\displaystyle \frac{K\cdot (S+b_i)}{a_i}\)

对比两类方案，等价于比较：

\[S \quad \boldsymbol{vs} \quad \frac{S+b_i}{a_i} \]

所以：只需在所有 \(a_i\ge2\) 的二元组中，选出 \(\boldsymbol{\dfrac{S+b_i}{a_i}}\) 最大的一项作为唯一加法项，即可得到全局最大值。

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部分内容由 AI 润色