单调队列优化 DP

单调队列优化 DP

0. 定位

单调队列优化 DP，解决的是这样一类问题：
状态转移的「决策集合」是一个随主状态单调滑动的窗口，且决策的优劣可以提前与主状态 i 解耦。满足这两点时，原本 O(nm) 的枚举被改为 O(n)。

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1. 朴素形态与优化动机

几乎所有这类 DP 都长这样：

dp[i] = opt_{j ∈ [L(i), R(i)]} ( dp[j] + w(j, i) )

• L(i), R(i) 是决策 j 的合法区间；
• 若区间长度有界（如 R(i) − L(i) ≤ m），朴素枚举为 O(nm)。

优化的目标只有一个：在每个 i 用 O(1) 取出窗口内最优的 j。

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2. 单调队列的本质原理

2.1 它是什么

一个队首到队尾保持单调性的双端队列：

• 求区间最小 → 维护递增队列（队首最小）；
• 求区间最大 → 维护递减队列（队首最大）。

它能以 O(1) 均摊的代价，维护一个滑动窗口的最值。

2.2 它为什么能优化 DP

关键不在「队列」本身，而在决策的支配关系：

• 处理到 i 时，把候选决策 j 依次加入队列；
• 若新决策 j₂ 比旧决策 j₁（j₁ < j₂）更优，且 j₂ 比 j₁ 更晚离开窗口（窗口右移，后进入者更晚被淘汰），那么 j₁ 在 j₂ 存活期间永远不可能再成为最优 → 永久淘汰 j₁；
• 于是队列里始终只保留「仍可能最优」的候选，且按优劣单调排列，队首即当前窗口最优。

注：这就是「单调」的真正含义：维护的不是值的大小，而是候选决策的优劣序。只要「更优且更晚淘汰 → 永久支配」成立，结构就成立。

2.3 可分离性（拆项）

要让「j 的优劣」独立于 i，必须能把代价写成：

dp[j] + w(j, i)  =  f(j)  +  g(i)

f(j) 只与决策 j 有关，g(i) 只与主状态 i 有关。这样窗口内比较的始终是 f(j)，与 i 无关，才塞得进单调队列。

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3. 适用条件（判定法则）

必须同时满足以下三点才可用：

1. 决策区间单调滑动：L(i), R(i) 随 i 非降（典型如定长窗口 [i − m, i − 1]）。
2. 目标可分离：w(j, i) 能拆成 f(j) + g(i)（或更一般、对 j 单调可比的形式）。
3. 可比较性：比较两个决策 j₁ < j₂ 的优劣时，结论不依赖 i（即 f(j₂) ≤ f(j₁) 一旦成立便恒成立）。

不满足反例：w(j, i) = j · i（交叉项，优劣随 i 翻转）→ 单调队列无能为力，需斜率优化或分治优化。

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4. 通用形态与模板

形式化结论：

若  dp[i] = g(i) + opt{ f(j) },   j ∈ 滑动窗口
则  用单调队列在窗口内维护 f(j)，队首即 opt。

最小模板（求 min，递增队列）：

dq = 双端队列，存 j 的下标
for i = 1 .. n:
    while dq 队首越出窗口: pop_front()
    dp[i] = g(i) + f(dq.front())
    while dq 非空 且 f(i) <= f(dq.back()): pop_back()   # 支配淘汰
    dq.push_back(i)

（求 max 改递减队列、比较符号反转即可。）

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5. 经典模型精析

模型 A ｜ 连续区间「至少选 1」

• 代表：烽火传递、绿色通道。
• 建模：dp[i] = cost[i] + min{ dp[j] }，j ∈ [i − m, i − 1]（第 i 个必选，上一个被选者在窗口内）。
• 优化关键：窗口内只比 dp[j]，与 i 无关 → 递增队列维护 dp[j]，O(n)。答案为最后 m 个 dp 的最小值。

模型 B ｜ 连续区间「至多选 k」

• 代表：修剪草坪（USACO）。
• 建模：前缀和 s，dp[i] = max( dp[i−1], s[i] + max{ dp[j] − s[j] } )，j ∈ [i − k, i − 1]（选 i 且被选段长 ≤ k）。
• 优化关键：把前缀和 s[i] 拆出（只与 i 有关），窗口内只比 dp[j] − s[j] → 递减队列，O(n)。与 A 对偶。

模型 C ｜ 二维滑窗最值

• 代表：理想的正方形。
• 建模：正方形最值 = 行方向滑窗后再列方向滑窗。
• 优化关键：一维滑窗做两次（先每行、再每列），将 n×n 区域最值降到 O(ab)。本质是「单调队列在二维的两次投影」。

模型 D ｜ 多重背包

• 代表：多重背包的单调队列优化。
• 建模：dp[r + t·w] = max_m ( dp[r + m·w] − m·v ) + t·v，按 j mod w 分组。
• 优化关键：余数固定后，体积按步长 w 等距，窗口宽度 c + 1 滑动；维护 dp[r + m·w] − m·v 的递减队列，把 O(V·c) 降到 O(V)。

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6. 本质再认识

• 它 ≠ 单调栈：栈处理「固定方向第一个极值」（端点不回退）；队列处理「两端都会动的窗口」。DP 优化里九成是队列。
• 它 ≠ 斜率优化：斜率优化处理 a(i)·b(j) + c(j) 这类交叉线性项（需凸包）；单调队列处理「可加性分离」项。两者都依赖「决策优劣可提前排序」。
• 边界意识：答案取段、窗口端点——错一处即 WA。编码前务必先写清「j 的合法范围」。

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7. 一句话总结

单调队列优化 DP = 决策窗口单调滑动 × 代价可加性分离。
把只与 j 有关的 f(j) 塞进双端队列，用支配关系淘汰永不为最优的旧决策，每个 i 在 O(1) 取最优。

部分内容由 AI 润色