数学期望

期望

0.定位

期望就是：把同一个随机试验重复很多很多次，结果算出来的平均取值。
竞赛里常用它来算一个随机过程平均要走多少步、平均要花多少代价。

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1. 概念

1.1 随机变量

随机变量就是"结果会随机会变的数"。

• 掷一颗骰子，朝上的点数可以是 1~6，掷之前不知道是几 → 点数就是一个随机变量。
• 抛一枚硬币，规定正面 = 1、反面 = 0 → 这个 1 或 0 也是一个随机变量。

记法：常用大写字母 \(X\)、\(Y\) 表示一个随机变量。

1.2 期望的定义（离散情形）

把随机变量每个可能的取值，乘以它出现的概率，再把所有结果加起来，就得到期望。

设 \(X\) 取值 \(x_1, x_2, \dots\)，对应概率 \(p_1, p_2, \dots\)（\(p_i = \mathbb{P}(X=x_i)\)，且 \(\sum p_i = 1\)），则

\[\mathbb{E}[X] = \sum_i x_i\, p_i \]

存在性说明：当 \(X\) 只有有限多个取值时，上式一定有意义（期望一定存在）。若取值无穷多（如几何分布），则要求级数 \(\sum |x_i|p_i\) 收敛——竞赛题一般天然满足，记住"加权平均要收得拢"即可。

例 1：公平骰子的点数期望

\[\mathbb{E}[X] = (1+2+3+4+5+6)\cdot\frac16 = \frac{21}{6} = 3.5 \]

掷很多次骰子，平均点数大约 3.5。

例 2：抛硬币（正面 = 1，反面 = 0）

\[\mathbb{E}[X] = 1\cdot\frac12 + 0\cdot\frac12 = 0.5 \]

1.3 期望的直观意义

1. 长期平均：重复试验很多次，平均值会稳定在期望附近。
2. 重心：把每个取值看作"位置"、概率看作"重量"，期望就是整个分布的平衡点。

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2. 核心性质

下面默认期望存在。

2.1 线性性（重要）

定理　对任意有限个随机变量 \(X_1,\dots,X_n\)（无论是否独立）和任意常数 \(a_1,\dots,a_n,b\)，都有

\[\mathbb{E}\!\left[\sum_{i=1}^{n} a_i X_i + b\right] = \sum_{i=1}^{n} a_i\,\mathbb{E}[X_i] + b. \]

特别地：\(\mathbb{E}[X+Y] = \mathbb{E}[X] + \mathbb{E}[Y]\)，\(\mathbb{E}[aX+b] = a\,\mathbb{E}[X] + b\)。

注**：不要求 \(X,Y\) 独立！** 对比 2.4，乘积性质必须独立才能拆，而加法永远能拆。

证明（以 \(\mathbb{E}[X+Y]\) 为例）：把所有试验结果记为 \(\omega\)，每个结果概率为 \(\mathbb{P}(\omega)\)。由定义，

\[\begin{aligned} \mathbb{E}[X+Y] &= \sum_{\omega} (X(\omega)+Y(\omega))\,\mathbb{P}(\omega) \\ &= \sum_{\omega} X(\omega)\,\mathbb{P}(\omega) + \sum_{\omega} Y(\omega)\,\mathbb{P}(\omega) \\ &= \mathbb{E}[X] + \mathbb{E}[Y]. \end{aligned} \]

只用到了"乘法对加法的分配律"∎

eg：同时掷红、蓝两颗骰子，点数分别为 \(X,Y\)，各期望 3.5。则两骰之和期望 \(= 3.5+3.5 = 7\)，无论两骰是否关联都成立。

2.2 常数与常数倍

• \(\mathbb{E}[c] = c\)（常数没有随机性，平均就是它自己）；
• \(\mathbb{E}[aX] = a\,\mathbb{E}[X]\)（由 2.1 取 \(b=0\) 即得）。

2.3 单调性

若 \(X \le Y\) 恒成立，则 \(\mathbb{E}[X] \le \mathbb{E}[Y]\)。

感性理解：每个结果都更小，平均自然更小。

2.4 乘积与独立性

定理　若 \(X, Y\) 独立（互不影响），则

\[\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y]. \]

注意：反之不成立——即  \(\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]\) 并不能推出 \(X,Y\) 独立。

加法（2.1）永远能拆，乘法（2.4）必须独立才能拆。

2.5 全期望公式

定理　把所有可能结果按某一标准分成若干类 \(B_1, B_2, \dots\)（彼此不重叠且覆盖全部），则

\[\mathbb{E}[X] = \sum_j \mathbb{E}[X \mid B_j]\,\mathbb{P}(B_j), \]

其中 \(\mathbb{E}[X \mid B_j]\) 表示"只在 \(B_j\) 这类结果里算的平均"。

证明：

\[\begin{aligned} \mathbb{E}[X] &= \sum_{\omega} X(\omega)\,\mathbb{P}(\omega) = \sum_j \sum_{\omega\in B_j} X(\omega)\,\mathbb{P}(\omega) \\ &= \sum_j \mathbb{P}(B_j)\!\left(\sum_{\omega\in B_j} X(\omega)\,\frac{\mathbb{P}(\omega)}{\mathbb{P}(B_j)}\right) = \sum_j \mathbb{P}(B_j)\,\mathbb{E}[X \mid B_j].\quad \blacksquare \end{aligned} \]

这条是后面"倒着递推"算期望的理论依据。

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3. 计算方法

3.1 定义法（列举）

情况少时直接列：每个取值 × 概率再加总（例 1、例 2）。

3.2 指示变量法（拆成"是否发生"的小变量）

对任意事件 \(A\)，定义示性变量

\[I_A = \begin{cases} 1, & A\text{ 发生} \\ 0, & A\text{ 不发生} \end{cases} \]

则 \(\mathbb{E}[I_A] = \mathbb{P}(A)\)。把"计数型"随机变量 \(X\) 写成一堆示性变量之和，再用 2.1 的线性性：

\[X = \sum_k I_{A_k} \;\Longrightarrow\; \mathbb{E}[X] = \sum_k \mathbb{P}(A_k). \]

eg：抛 \(n\) 次硬币，正面次数期望。令第 \(i\) 次正面时 \(I_i=1\) 否则 0，\(\mathbb{E}[I_i]=1/2\)。总正面次数 \(= \sum_{i=1}^n I_i\)，故期望 \(= n/2\)。无需知道"恰好 k 次"的分布，直接加出来。

3.3 倒着递推（期望 DP 的雏形）

"从某状态到结束还要花多少步"常可列方程从后往前算。
例子：位置 1 出发，到位置 \(n\) 停；每步 50% 前进 1 格、50% 停留。设 \(f[i]\) 为"在位置 \(i\) 到终点还要走的期望步数"。

• 终点 \(f[n]=0\)；
• \(i<n\) 时：\(f[i] = 1 + \tfrac12 f[i+1] + \tfrac12 f[i]\)，移项得 \(f[i] = 2 + f[i+1]\)；
• 从 \(f[n]=0\) 往回一排即得。

关键：期望 DP 通常倒着算（"未来还要多少"在终点是已知的 0，未知的在起点）。

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4. 常用离散分布期望

分布	含义	期望	备注
伯努利 Bernoulli(\(p\))	一次试验成功(1)/失败(0)	\(p\)	直接由定义
二项 Binomial(\(n,p\))	\(n\) 次独立伯努利的成功次数	\(np\)	由 2.1：\(\sum\) 个伯努利期望相加
几何 Geom(\(p\))	首次成功所需试验次数	\(1/p\)	见 5.1 推导
均匀 Uniform(\(a,b\))（整数 \(a..b\)）	等概率取 \(a\) 到 \(b\)	\((a+b)/2\)	端点平均值

二项分布期望 \(np\) 是线性性的标准应用：把它拆成 \(n\) 个独立伯努利之和，立刻得到，无需公式。

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5. 经典模型

5.1 几何分布：第一次成功要等多久

每次成功概率 \(p\)，问首次成功平均要试验几次？设期望为 \(E\)。

• 第一步：以概率 \(p\) 直接成功（总共 1 次）；以概率 \(1-p\) 失败，此时"从开头重来"，还需期望 \(E\) 次，加上已用的 1 次。

\[E = 1 + (1-p)\,E \quad\Longrightarrow\quad pE = 1 \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{1}{p}. \]

公平硬币（\(p=1/2\)）平均抛 2 次出正面。无记忆性：已经等了很久没成功，再等下去的平均和从头一样。

5.2 优惠券收集：n 面骰子要掷多少次

一个 \(n\) 面公平骰子，要"每个面都至少出现一次"，平均掷多少次？
把总次数 \(T\) 按"已集齐 \(k\) 种、等第 \(k+1\) 种"分成 \(n\) 段，第 \(k\) 段等待次数记为 \(T_k\)（\(k=0,\dots,n-1\)）。

• 已集齐 \(k\) 种时，下一次掷出"新面"的概率是 \((n-k)/n\)，故 \(T_k\) 是几何分布，期望 \(\mathbb{E}[T_k] = n/(n-k)\)；
• 总次数 \(T = T_0 + T_1 + \cdots + T_{n-1}\)。虽然各 \(T_k\) 并不独立，但由 2.1 线性性（不需独立）：

\[\mathbb{E}[T] = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n-k} = n\left(1 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1n\right) = n\,H_n, \]

其中 \(H_n\) 为第 \(n\) 个调和数，大 \(n\) 时 \(H_n \approx \ln n + 0.577\)，故平均次数约 \(n\ln n\)。

具体数：6 面骰子，\(H_6 \approx 2.45\)，平均要掷约 \(14.7\) 次——远多于直觉的"6 次"。

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6. 易错点 + 总结

易错点

1. 加法永远能拆，乘法要独立：\(\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]\) 不管独立与否；\(\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]\) 必须独立。
2. 期望 DP 倒着算：终态期望常为 0，从后往前推。
3. 分类讨论要加权：用 2.5 分情况时，各类期望要乘对应概率再加总。

总结

期望 = 多次试验的平均结果。
最有用的是线性性（\(\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]\)，不需独立，且已给出证明）和全期望公式（先分类再加权平均，也已给出证明）。
算期望：列举、拆指示变量相加、倒着递推；
两个标杆模型：几何 \(1/p\)、集齐 \(nH_n\)。