数论：组合数学与计数原理
数论：组合数学与计数原理
目录
1. 计数原理与计数方法
1.1 排列数与组合数
排列数（Permutation）
从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个，按一定顺序排成一列的方案数：
关键：有序。选出的顺序不同则方案不同。
组合数（Combination）
从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个，组成一个集合（不计顺序）的方案数：
关键：无序。选出的元素相同则视为同一方案，与顺序无关。
二者关系
即：先选后排。先从 \(n\) 个中选 \(m\) 个（组合），再把这 \(m\) 个排列（\(m!\)）。
基本性质
| 性质 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 对称性 | \(\dbinom{n}{m} = \dbinom{n}{n-m}\) | 补集思想 |
| 边界 | \(\dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1\) | 空集唯一 |
| 零值 | \(\dbinom{n}{m} = 0\ (m > n)\) | 选不出比 \(n\) 多的 |
| 递推 | \(\dbinom{n}{m} = \dbinom{n-1}{m} + \dbinom{n-1}{m-1}\) | 核心递推 |
1.2 组合数的三种计算方法
方法 1：递推法（杨辉三角）
原理
利用组合数的递推公式：
含义：考虑第 \(n\) 个元素的去留——
- 若不选第 \(n\) 个元素，则从剩余 \(n-1\) 个中选 \(m\) 个：\(\binom{n-1}{m}\)；
- 若选第 \(n\) 个元素，则从剩余 \(n-1\) 个中再选 \(m-1\) 个：\(\binom{n-1}{m-1}\)。
二者相加即为从 \(n\) 个中选 \(m\) 个的总方案数。
杨辉三角
将 \(\binom{n}{m}\) 排成三角形，每个数等于其正上方与左上方之和：
n=0: 1
n=1: 1 1
n=2: 1 2 1
n=3: 1 3 3 1
n=4: 1 4 6 4 1
n=5: 1 5 10 10 5 1
代码（\(O(n^2)\) 预处理，\(O(1)\) 查询）
const int MAXN = 2005;
long long C[MAXN][MAXN];
const int MOD = 1e9 + 7;
void init(int n) {
for (int i = 0; i <= n; i++) {
C[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= i; j++)
C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % MOD;
// C[i][j] = 0 for j > i (默认为 0)
}
}
// 查询: C[n][m]
适用场景
| 条件 | 说明 |
|---|---|
| \(n\) 较小 | 一般 \(n \le 2000\)（\(n^2\) 可接受） |
| 模数任意 | 不要求模数为质数，这是其最大优势 |
| 需要多次查询 | 预处理后 \(O(1)\) 查询 |
优势：当模数不是质数（如 \(p = 10^9+7\) 的某些变体或 \(p\) 为合数）时，逆元法失效，递推法仍然可用。
方法 2：定义法（阶乘 + 逆元，最高频）
原理
当模数 \(p\) 为质数时，利用费马小定理求逆元：
费马小定理：若 \(p\) 为质数且 \(\gcd(a, p) = 1\)，则 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)，即 \(a^{-1} \equiv a^{p-2} \pmod{p}\)。
因此：
预处理步骤
- 预处理阶乘数组：\(\text{fact}[i] = i! \bmod p\)
- 预处理阶乘逆元数组：\(\text{inv\_fact}[i] = (i!)^{-1} \bmod p\)
- 组合数计算：
优化技巧：线性递推逆元
直接对每个 \(\text{fact}[i]\) 用快速幂求逆元，复杂度 \(O(n \log p)\)。但可以优化到 \(O(n)\)：
- 先用快速幂求出 \(\text{inv\_fact}[n] = (\text{fact}[n])^{p-2} \bmod p\)；
- 再倒推：
推导：因为 \(\text{inv\_fact}[i] = (i!)^{-1}\)，而 \((i-1)! = i! / i\)，所以：
代码（\(O(n + \log p)\) 预处理，\(O(1)\) 查询）
const int MAXN = 2e6 + 5;
const int MOD = 1e9 + 7; // 质数
long long fact[MAXN], inv_fact[MAXN];
long long qpow(long long a, long long b, long long p) {
long long res = 1;
a %= p;
while (b > 0) {
if (b & 1) res = res * a % p;
a = a * a % p;
b >>= 1;
}
return res;
}
void init(int n) {
fact[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
fact[i] = fact[i-1] * i % MOD;
inv_fact[n] = qpow(fact[n], MOD - 2, MOD); // 费马小定理求逆元
for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
inv_fact[i] = inv_fact[i+1] * (i + 1) % MOD; // 倒推
}
long long C(int n, int m) {
if (m < 0 || m > n) return 0;
return fact[n] * inv_fact[m] % MOD * inv_fact[n - m] % MOD;
}
适用场景
| 条件 | 说明 |
|---|---|
| 模数为质数 | 必须，否则费马小定理不适用 |
| \(n\) 较大 | 一般 \(n \le 10^6\) 甚至更大 |
| 需要多次查询 | 预处理后 \(O(1)\) 查询 |
| 最通用 | 算法竞赛中最常见的写法 |
注意：要求 \(n < p\)（否则阶乘中会出现 \(p\) 的倍数，逆元不存在）。若 \(n \ge p\)，需用 Lucas 定理。
方法对比总结
| 方法 | 预处理复杂度 | 查询复杂度 | 空间 | 模数要求 | \(n\) 的范围 |
|---|---|---|---|---|---|
| 递推法（杨辉三角） | \(O(n^2)\) | \(O(1)\) | \(O(n^2)\) | 任意 | \(\le 2000\) |
| 阶乘+逆元 | \(O(n+\log p)\) | \(O(1)\) | \(O(n)\) | 质数 | \(\le 10^6\)，且 \(n < p\) |
2. 计数方法（捆绑 / 插空 / 隔板）
这是解决排列组合应用题的三大经典技巧，核心思想是将复杂问题转化为标准模型。
2.1 相邻元素捆绑法
适用场景
要求某些元素必须相邻（排在一起）。
步骤
- 捆绑：将必须相邻的 \(k\) 个元素视为一个整体（"超级元素"）；
- 排序：将这个整体与其他元素一起全排列；
- 内部排序：被捆绑的 \(k\) 个元素内部也要全排列（\(k!\)）；
- 相乘：总方案数 = 整体排列数 × 内部排列数。
公式
若 \(k\) 个元素必须相邻，共 \(n\) 个元素：
示例
5 人站一排，A 和 B 必须相邻，有多少种排法？
- 将 A、B 捆绑为 1 个整体，现在共 \(5-2+1 = 4\) 个"元素"；
- 整体排列：\(4! = 24\)；
- A、B 内部排列：\(2! = 2\)；
- 总方案数：\(24 \times 2 = 48\)。
多组捆绑
若有多组需要相邻的元素，分别捆绑、各自内部全排列，再一起全排列：
2.2 不相邻元素插空法
适用场景
要求某些元素互不相邻（任意两个之间至少有一个其他元素）。
步骤
- 先排其他元素：将没有不相邻要求的元素先排好；
- 找空隙：排好后形成若干"空隙"（包括两端），\(m\) 个元素排好后有 \(m+1\) 个空隙；
- 插入：将要求不相邻的元素插入这些空隙中，选位置并排列。
公式
若有 \(n\) 个元素，其中 \(k\) 个必须互不相邻，其余 \(n - k\) 个无限制：
注意：要求 \(k \le n - k + 1\)，否则无解（空位不够）。
示例
5 人站一排，A 和 B 不相邻，有多少种排法？
- 先排其余 3 人：\(3! = 6\) 种；
- 3 人排好后形成 \(3 + 1 = 4\) 个空隙（含两端）；
- 从 4 个空隙中选 2 个放 A、B 并排列：\(A_4^2 = 4 \times 3 = 12\)；
- 总方案数：\(6 \times 12 = 72\)。
验证（总 - 相邻）
总排列 \(5! = 120\)，A、B 相邻 \(48\) 种，不相邻 \(= 120 - 48 = 72\)。✅
2.3 相同元素隔板法
适用场景
将完全相同的物品分给不同的对象，每人至少分一个（或推广形式）。
基本模型
将 \(n\) 个相同的球放入 \(k\) 个不同的盒子，每个盒子至少一个球，求方案数。
方法：将 \(n\) 个球排成一排，中间有 \(n - 1\) 个间隙，从中选 \(k - 1\) 个位置插入"隔板"，将球分为 \(k\) 组：
示例
10 个相同的苹果分给 3 个小朋友，每人至少 1 个，多少种分法？
推广：允许为 0（转化为非负整数解）
若盒子可以为空（每人可以分 0 个），等价于求 \(x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n\) 的非负整数解数。
技巧：先给每个盒子虚放 1 个球（共 \(k\) 个），问题转化为 \(n + k\) 个球、每盒至少 1 个：
详细推导见 第 8 节：不定方程的解数问题。
推广：下界限制
若第 \(i\) 个盒子至少 \(a_i\) 个，先给每个盒子预放 \(a_i\) 个，剩余 \(n - \sum a_i\) 个自由分配（允许为 0）：
三大方法对比
| 方法 | 适用场景 | 核心操作 | 典型公式 |
|---|---|---|---|
| 捆绑法 | 元素必须相邻 | 先捆后排 | \((n-k+1)! \times k!\) |
| 插空法 | 元素互不相邻 | 先排再插空 | \(A_{n-k+1}^k \times (n-k)!\) |
| 隔板法 | 相同元素分组 | 插隔板分组 | \(\binom{n-1}{k-1}\) |
3. 重要恒等式
组合数有大量优美的恒等式，它们是简化复杂求和、推导递推关系的利器。
3.1 对称恒等式
含义：从 \(n\) 个中选 \(m\) 个，等价于选 \(n - m\) 个不选的（补集思想）。
3.2 吸收 / 提取恒等式
推导：
用途：在求和中"吸收"或"提取"变量，化简含有 \(m\binom{n}{m}\) 的求和式。
变体：
3.3 上指标求和恒等式
含义：从 \(0\) 到 \(n\)，依次选 \(\binom{i}{m}\)，总和等于 \(\binom{n+1}{m+1}\)。
组合证明：\(\binom{n+1}{m+1}\) 表示从 \(n+1\) 个元素中选 \(m+1\) 个。按选出的最大元素分类——若最大元素是第 \(i+1\) 个（\(i\) 从 \(m\) 到 \(n\)），则在前 \(i\) 个中选 \(m\) 个，方案数 \(\binom{i}{m}\)。求和即得。
也称为曲棍球恒等式（Hockey Stick Identity），因为杨辉三角中求和的路径形似曲棍球杆。
3.4 范德蒙德卷积 / 下指标卷积
含义：从 \(n\) 个男生和 \(m\) 个女生中选 \(k\) 人，按选 \(i\) 个男生、\(k-i\) 个女生分类求和，等于直接从 \(n+m\) 人中选 \(k\) 人。
3.5 上指标卷积
含义：在 \(n+1\) 个位置中选 \(a+b+1\) 个，按"分界点 \(i\)"分类——前 \(i\) 个中选 \(a\) 个，后 \(n-i\) 个中选 \(b\) 个。
与范德蒙德的关系：令 \(j = i\)，这是范德蒙德卷积的另一种形式（上指标求和版）。
恒等式速查表
| 名称 | 公式 | 一句话理解 |
|---|---|---|
| 对称 | \(\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}\) | 选 = 不选 |
| 吸收 | \(\binom{n}{m}=\frac{n}{m}\binom{n-1}{m-1}\) | 提取 \(n/m\) |
| 上指标求和 | \(\sum_{i=0}^n\binom{i}{m}=\binom{n+1}{m+1}\) | 曲棍球 |
| 范德蒙德 | \(\sum_i\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}=\binom{n+m}{k}\) | 两组并一组 |
| 上指标卷积 | \(\sum_i\binom{i}{a}\binom{n-i}{b}=\binom{n+1}{a+b+1}\) | 分界分类 |
4. 二项式定理
定理内容
对任意实数 \(a, b\) 和非负整数 \(n\)：
其中 \(\binom{n}{k}\) 称为二项式系数。
组合理解
\((a+b)^n\) 是 \(n\) 个 \((a+b)\) 相乘，每个因子中选 \(a\) 或 \(b\)。展开式中 \(a^{n-k}b^k\) 的系数，就是从 \(n\) 个因子中选 \(k\) 个取 \(b\)（其余取 \(a\)）的方案数，即 \(\binom{n}{k}\)。
特殊情形
| 取值 | 结果 | 说明 |
|---|---|---|
| \(a=1,\ b=1\) | \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n\) | 子集总数 |
| \(a=1,\ b=-1\) | \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k} = 0\) | 奇偶项抵消 |
| \(a=1,\ b=x\) | \((1+x)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k\) | 生成函数形式 |
例：展开 \((a+b)^4\)
系数 \(1, 4, 6, 4, 1\) 正是杨辉三角第 4 行。
5. 二项式定理的直接推论
推论 1：子集总数
含义：\(n\) 元素的集合的所有子集（包括空集和全集）总数为 \(2^n\)。
证明：令 \(a = b = 1\)，\((1+1)^n = 2^n\)。
推论 2：奇偶项之差为零
含义：\(\binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \binom{n}{4} + \cdots = \binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \binom{n}{5} + \cdots = 2^{n-1}\)。
证明：令 \(a = 1, b = -1\)，\((1-1)^n = 0\)。
推论：偶数大小的子集个数 = 奇数大小的子集个数 = \(2^{n-1}\)。
推论 3：平方和恒等式
证明：由范德蒙德卷积，\(\sum_k \binom{n}{k}\binom{n}{n-k} = \binom{2n}{n}\)，而 \(\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}\)。
含义：从 \(2n\) 个人中选 \(n\) 人，等于两组各 \(n\) 人中分别选 \(k\) 和 \(n-k\) 人再求和。
推论 4：求和 \(\sum k\binom{n}{k}\)
证明（用吸收恒等式）：
推论 5：求和 \(\sum k^2\binom{n}{k}\)
推论速查表
| 推论 | 公式 | 令 |
|---|---|---|
| 子集总数 | \(\sum\binom{n}{k}=2^n\) | \(a=b=1\) |
| 奇偶抵消 | \(\sum(-1)^k\binom{n}{k}=0\) | \(a=1,b=-1\) |
| 平方和 | \(\sum\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}\) | 范德蒙德 |
| 加权和 | \(\sum k\binom{n}{k}=n\cdot 2^{n-1}\) | 吸收恒等式 |
6. Lucas 定理
定理内容
设 \(p\) 为质数，\(n, m\) 为非负整数。将 \(n, m\) 用 \(p\) 进制表示：
则：
即：\(\binom{n}{m} \bmod p\) 等于 \(n\) 和 \(m\) 的各 \(p\) 进制位对应组合数的乘积。
递推形式
更常用的写法：
适用场景
| 场景 | 说明 |
|---|---|
| \(n, m\) 很大 | 如 \(n, m \le 10^{18}\) |
| 模数 \(p\) 较小且为质数 | 如 \(p \le 10^5\) |
| \(n \ge p\) | 此时阶乘逆元法失效（阶乘含 \(p\) 的倍数） |
代码
const int MOD = 1e9 + 7; // 这里以较小质数为例，实际 Lucas 多用于 p <= 1e5
long long qpow(long long a, long long b, long long p) {
long long res = 1; a %= p;
while (b > 0) {
if (b & 1) res = res * a % p;
a = a * a % p; b >>= 1;
}
return res;
}
// 预处理阶乘（模 p 内）
long long fact[100005];
void init(int p) {
fact[0] = 1;
for (int i = 1; i < p; i++)
fact[i] = fact[i-1] * i % p;
}
// 单次组合数（模 p 内，要求 n < p）
long long C_p(long long n, long long m, int p) {
if (m < 0 || m > n) return 0;
return fact[n] * qpow(fact[m], p-2, p) % p * qpow(fact[n-m], p-2, p) % p;
}
// Lucas 定理
long long lucas(long long n, long long m, int p) {
if (m == 0) return 1;
return C_p(n % p, m % p, p) * lucas(n / p, m / p, p) % p;
}
递归深度
Lucas 定理的递归深度为 \(O(\log_p n)\)，即 \(n\) 的 \(p\) 进制位数。
例题
求 \(\binom{10^{18}}{10^{18}-1} \bmod 3\)。
由 Lucas 定理，不断取 \(p=3\) 进制分解，最终化为若干 \(\binom{n_i}{m_i} \bmod 3\) 的乘积，其中每个 \(n_i, m_i < 3\)。
7. 组合数的单调性
单峰性
对于固定的 \(n\)，\(\binom{n}{k}\) 关于 \(k\) 是先增后减的（单峰），在 \(k = \lfloor n/2 \rfloor\) 附近取最大值。
比值法证明
- 当 \(\frac{n-k+1}{k} > 1\)，即 \(k < \frac{n+1}{2}\) 时，\(\binom{n}{k}\) 递增；
- 当 \(k > \frac{n+1}{2}\) 时，递减；
- \(n\) 为偶数时，\(k = n/2\) 处取唯一最大值 \(\binom{n}{n/2}\)；
- \(n\) 为奇数时，\(k = (n-1)/2\) 和 \(k = (n+1)/2\) 处并列最大。
应用
- 求最大组合数：\(\max_k \binom{n}{k} = \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}\)；
- 二分 / 三分优化：当需要找满足某条件的 \(k\) 时，利用单调性优化；
- 放缩估计：\(\binom{n}{k} \le \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}\)。
关于 \(n\) 的单调性
对于固定的 \(k \ge 1\)，\(\binom{n}{k}\) 关于 \(n\) 严格递增：
由 \(\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} > \binom{n}{k}\) 即得。
8. 不定方程的解数问题
这是隔板法的系统化应用。考虑不定方程：
8.1 正整数解（每变量 \(\ge 1\)）
条件：\(x_i \ge 1\)（正整数），\(n \ge k\)。
方法：\(n\) 个相同球排成一排，\(n-1\) 个间隙中插 \(k-1\) 个隔板，分为 \(k\) 组（每组至少 1 个）：
示例
\(x_1 + x_2 + x_3 = 10\)，\(x_i \ge 1\) 的正整数解个数？
8.2 非负整数解（每变量 \(\ge 0\)）
条件：\(x_i \ge 0\)（非负整数）。
方法：令 \(y_i = x_i + 1\)，则 \(y_i \ge 1\)，方程变为 \(y_1 + \cdots + y_k = n + k\)，化为正整数解问题：
直观理解：\(n\) 个相同球放入 \(k\) 个不同盒子，允许空盒。先给每盒虚放 1 个（共 \(k\)），再按正整数解处理。
示例
\(x_1 + x_2 + x_3 = 10\)，\(x_i \ge 0\) 的非负整数解个数？
8.3 下界限制（\(x_i \ge a_i\)）
条件：\(x_i \ge a_i\)（\(a_i\) 为给定常数）。
方法：令 \(y_i = x_i - a_i \ge 0\)，方程变为 \(y_1 + \cdots + y_k = n - \sum a_i\)，化为非负整数解：
要求 \(n \ge \sum a_i\)，否则无解。
示例
\(x_1 + x_2 + x_3 = 10\)，\(x_1 \ge 2,\ x_2 \ge 3,\ x_3 \ge 1\)。
\(\sum a_i = 2+3+1 = 6\)，剩余 \(10 - 6 = 4\) 自由分配：
8.4 上下界限制（\(a_i \le x_i \le b_i\)）
条件：\(a_i \le x_i \le b_i\)。
方法：容斥原理。先去掉下界（令 \(y_i = x_i - a_i \ge 0\)），得到上界 \(y_i \le b_i - a_i = c_i\)，然后对上界进行容斥。
设去掉下界后方程为 \(y_1 + \cdots + y_k = N\)（\(N = n - \sum a_i\)），\(0 \le y_i \le c_i\)。
容斥：总方案 = 无上界限制的方案 − 至少一个变量越界的方案 + 至少两个越界 − ...
其中 \(S\) 是"越界"的变量集合，对 \(i \in S\)，令 \(y_i' = y_i - (c_i + 1) \ge 0\)（即 \(y_i \ge c_i + 1\)，超出上界）。
若 \(N - \sum_{i \in S}(c_i+1) < 0\)，该项为 \(0\)。
示例
\(x_1 + x_2 + x_3 = 10\)，\(0 \le x_1 \le 4,\ 0 \le x_2 \le 3,\ 0 \le x_3 \le 5\)。
\(N = 10\)，\(c_1=4, c_2=3, c_3=5\)。容斥：
- 无限制：\(\binom{12}{2} = 66\)
- \(x_1 \ge 5\)（即 \(y_1 \ge 5\)）：\(\binom{12-5}{2} = \binom{7}{2} = 21\)
- \(x_2 \ge 4\)：\(\binom{12-4}{2} = \binom{8}{2} = 28\)
- \(x_3 \ge 6\)：\(\binom{12-6}{2} = \binom{6}{2} = 15\)
- \(x_1 \ge 5, x_2 \ge 4\)：\(\binom{12-5-4}{2} = \binom{3}{2} = 3\)
- \(x_1 \ge 5, x_3 \ge 6\)：\(\binom{12-5-6}{2} = \binom{1}{2} = 0\)
- \(x_2 \ge 4, x_3 \ge 6\)：\(\binom{12-4-6}{2} = \binom{2}{2} = 1\)
- 三者全越界：\(\binom{12-5-4-6}{2} = \binom{-3}{2} = 0\)
总结表
| 条件 | 解数公式 | 转化方法 |
|---|---|---|
| \(x_i \ge 1\) | \(\binom{n-1}{k-1}\) | 直接隔板 |
| \(x_i \ge 0\) | \(\binom{n+k-1}{k-1}\) | \(y_i = x_i + 1\) |
| \(x_i \ge a_i\) | \(\binom{n-\sum a_i+k-1}{k-1}\) | \(y_i = x_i - a_i\) |
| \(a_i \le x_i \le b_i\) | 容斥 | 去下界 + 容斥上界 |
9. 鸽巢原理
9.1 普通鸽巢原理
内容
将 \(n + 1\) 个物体放入 \(n\) 个盒子（鸽巢）中，则至少有一个盒子包含至少 \(2\) 个物体。
更一般地：
将 \(N\) 个物体放入 \(k\) 个盒子，则至少有一个盒子包含至少 \(\lceil N/k \rceil\) 个物体。
证明（反证法）
假设每个盒子最多 \(\lceil N/k \rceil - 1\) 个，则总数最多 \(k \cdot (\lceil N/k \rceil - 1) < N\)，矛盾。
应用示例
例 1：任意 13 个人中，至少有 2 人生日在同一个月。
（13 人放入 12 个月，必有某月 \(\ge 2\) 人）
例 2：从 \(1\) 到 \(2n\) 的整数中任取 \(n+1\) 个，必有两个数其中一个整除另一个。
（按最大奇因子分类，共 \(n\) 类，取 \(n+1\) 个必有两数同类，较小者整除较大者）
例 3：\(n+1\) 个互不相同的、小于 \(2n\) 的正整数中，必有一个整除另一个。
例 4（前缀和）：给定 \(n\) 个整数 \(a_1, \ldots, a_n\)，存在连续子段之和为 \(n\) 的倍数。
（令 \(S_k = \sum_{i=1}^k a_i\)，\(n+1\) 个前缀和 \(S_0, S_1, \ldots, S_n\) 对 \(n\) 取模只有 \(n\) 种余数，必有两个同余，其差为 \(n\) 的倍数）
10. 容斥原理
基本思想
要计算至少满足一个性质的元素个数，先加上各自满足的，再减去两两都满足的，再加上三个都满足的，依此类交。
用补集转化：计算都不满足的元素个数 = 总数 − 至少满足一个的个数。
公式
设全集 \(U\)，性质集合 \(A_1, A_2, \ldots, A_n\)，\(|A_i|\) 表示满足性质 \(i\) 的元素个数。
至少满足一个性质的元素个数
用求和符号：
都不满足的元素个数
即：
其中 \(S = \emptyset\) 时为 \(|U|\)。
二集合、三集合情形
二集合：
三集合：
子集枚举实现
竞赛中常用位运算枚举子集实现容斥：
// n 个性质，f(S) = 满足 S 中所有性质的元素个数
// 求至少满足一个性质的元素个数
long long inclusion_exclusion(int n, function<long long(int)> f) {
long long ans = 0;
for (int S = 1; S < (1 << n); S++) {
int bits = __builtin_popcount(S);
if (bits % 2 == 1) ans += f(S); // 奇数个：加
else ans -= f(S); // 偶数个：减
}
return ans;
}
// 求都不满足的元素个数 = |U| - 上式
经典应用
应用 1：错排问题
\(n\) 封信装入 \(n\) 个信封，全部装错的方案数 \(D_n\)。
方法：全集 = \(n!\)（所有排列），\(A_i\) = 第 \(i\) 封信装对。求都不装对的方案数：
递推：\(D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})\)，\(D_1 = 0,\ D_2 = 1\)。
应用 2：欧拉函数
$\varphi(n) = $ 不超过 \(n\) 且与 \(n\) 互质的正整数个数。
设 \(n\) 的质因数为 \(p_1, p_2, \ldots, p_k\)。全集 \(U = \{1, 2, \ldots, n\}\)，\(A_i\) = 被 \(p_i\) 整除的数。求都不被任何 \(p_i\) 整除的数：
应用 3：不定方程上下界（见第 8.4 节）
应用 4：第二类 Stirling 数（容斥公式）
将 \(n\) 个不同元素划分为恰好 \(k\) 个非空集合的方案数 \(S(n,k)\)。
应用 5：多重集组合数
从 \(k\) 种元素中选 \(n\) 个，第 \(i\) 种最多 \(c_i\) 个，求方案数。
去上界后容斥（类似第 8.4 节）。
容斥原理核心公式速查
| 问题 | 公式 |
|---|---|
| 至少满足一个 | $\sum_{\emptyset\ne S}(-1)^{ |
| 都不满足 | $\sum_{S}(-1)^{ |
| 错排 | \(D_n = n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}\) |
| 欧拉函数 | \(\varphi(n) = n\prod(1-\frac{1}{p_i})\) |
| Stirling 数 | \(S(n,k)=\frac{1}{k!}\sum(-1)^i\binom{k}{i}(k-i)^n\) |
总结
| 主题 | 核心思想 | 竞赛中的关键应用 |
|---|---|---|
| 组合数计算 | 递推 / 逆元 / Lucas | \(O(1)\) 查询组合数 |
| 捆绑 / 插空 / 隔板 | 化复杂为标准模型 | 排列组合应用题 |
| 恒等式 | 化简求和式 | 推导递推、优化计算 |
| 二项式定理 | \((a+b)^n\) 展开 | 子集计数、求和 |
| Lucas 定理 | \(p\) 进制分解 | 大组合数取模 |
| 单调性 | 单峰性 | 优化、估计 |
| 不定方程解数 | 隔板法 + 容斥 | 分配问题 |
| 鸽巢原理 | 存在性证明 | 抽屉论证 |
| 容斥原理 | 补集 + 加减交替 | 去限制、求交并 |
部分由 AI 润色
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