伍德伯里矩阵恒等式（Woodbury matrix identity）

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在数学（特别是线性代数）中，Woodbury矩阵恒等式是以Max A.Woodbury命名的，它 可以通过对原矩阵的逆进行秩k校正来计算某个矩阵的秩k校正的逆。这个公式的另一个名字是矩阵逆引理，谢尔曼-莫里森-伍德伯里（Sherman–Morrison–Woodbury formula）公式或只是伍德伯里公式。然而，在伍德伯里发现之前，这一等式出现在其他文献中。

1. 伍德伯里矩阵恒等式

\[\displaystyle \left(A+UCV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1} \]

其中\(A\)、\(U\)、\(C\) 和 \(V\)都表示适形尺寸的矩阵。具体来说，\(A\) 的大小为 \(n×n\)，\(U\) 为 \(n×k\)，\(C\) 为 \(k×k\)，\(V\) 为 \(k×n\)。

2. 扩展

不失一般性，可用单位矩阵替换矩阵A和C：

\[\displaystyle \left(I+UV\right)^{-1}=I-U\left(I+VU\right)^{-1}V \]

这里\(\displaystyle U=A^{-1}X\), \(\displaystyle V=CY\)。

这个等式本身可以看作是两个简单等式的组合，即等式

\[\displaystyle (I+P)^{-1}=I-(I+P)^{-1}P=I-P(I+P)^{-1} \]

和所谓的 push-through 等式

\[\displaystyle (I+UV)^{-1}U=U(I+VU)^{-1}$$的结合。 ## 3. 特殊情况 当 $\displaystyle V,U$ 是向量时，伍德伯里恒等式退化为谢尔曼-莫里森公式，在标量情况下，它（简化版）只是： $$\displaystyle {\frac {1}{1+uv}}=1-{\frac {uv}{1+uv}}\]

如果 \(p=q\) 和 \(U=V=I_p\) 是单位矩阵，那么

\[\left({A}+{B}\right)^{-1} =A^{-1}-A^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1} \]

\[={A}^{-1}-{A}^{-1}\left({I}+{B}{A}^{-1}\right)^{-1}{B}{A}^{-1}. \]

继续合并上述方程最右边的项，就可以得到一下恒等式：

\[\displaystyle \left({A}+{B}\right)^{-1}={A}^{-1}-\left({A}+{A}{B}^{-1}{A}\right)^{-1} \]

此等式的另一个有用的形式是：

\[\displaystyle \left({A}-{B}\right)^{-1}={A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({A}-{B}\right)^{-1} \]

它有一个递归结构：

\[\displaystyle \left({A}-{B}\right)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left({A}^{-1}{B}\right)^{k}{A}^{-1} \]

这种形式可用于微扰展开式，其中 \(B\) 是 \(A\) 的微扰。

4. 推广

二项式逆定理（Binomial Inverse Theorem）
如果 \(A\)，\(U\)，\(B\)，\(V\) 分别是 \(p×p\)，\(p×q\)，\(q×q\)，\(q×p\)的矩阵，那么:

\[\displaystyle \left(A+UBV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}UB\left(B+BVA^{-1}UB\right)^{-1}BVA^{-1} \]

前提是 \(A\) 和 \(B+BVA-1UB\) 是非奇异的。后者的非奇异性要求 \(B^{-1}\) 存在，因为它等于 \(B（I+VA＝1ub）\)，并且后者的秩不能超过 \(B\) 的秩。由于 \(B\) 是可逆的，所以在右手边的附加量逆的两边的两个 \(B\) 项可以被 \((B^{-1})^{-1}\) 替换，从而得到原始的Woodbury恒等式:

\[\displaystyle (A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1} \]

在某些情况下，\(A\) 是有可能是奇异的。

5. 延伸

公式可以通过检查 \(A+UCV\) 乘以伍德伯里恒等式右侧的所谓逆得到恒等式矩阵来证明：
\(\left(A+UCV\right)\left[A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right]\)
\(={}\left\{I-U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}+\left\{UCVA^{-1}-UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}={}\)
\(\left\{I+UCVA^{-1}\right\}-\left\{U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}+UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}=\)
\(+UCVA^{-1}-\left(U+UCVA^{-1}U\right)\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}=\)
\(+UCVA^{-1}-UC\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}+UCVA^{-1}-UCVA^{-1}\left({A}+{B}\right)^{-1}\) \(=A^{-1}-A^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}\)$

\[={A}^{-1}-{A}^{-1}\left({I}+{B}{A}^{-1}\right)^{-1}{B}{A}^{-1}.$$. ## 参考文献 [https://en.wikipedia.org/wiki/Woodbury_matrix_identity](https://en.wikipedia.org/wiki/Woodbury_matrix_identity) 更多精彩内容请关注微信公众号 “**优化与算法**”  \]