数字信号与数字系统的时频分析

目录

• 楔子
• 离散时间序列
  • 几个特殊的序列
    • 正弦序列
    • 实指数序列
    • 复指数序列
  • 周期性
  • 运算
    • 移位
    • 反褶
    • 序列加减
    • 序列的乘积
    • 差分
    • 尺度变换
    • 卷积和
• 离散系统
  • 性质
    • 线性
    • 移不变
    • 因果
    • 稳定
  • 系统的表征
  • 系统与信号的作用
    • 常系数差分方程
      • 经典法
      • 迭代法
      • z域法
    • 单位样值响应表征系统
• 频域分析
  • Fourier变换
    • 周期信号的傅里叶级数
    • DTFT
      • 定义
      • 性质
  • z变换
    • 收敛圆
    • z反变换
      • 长除法
      • 部分分式展开
      • 留数法
    • z变换的性质

楔子

离散时间序列是数字信号处理的对象，模拟信号经过采样转变为数字信号，数字信号就是一种时间幅度均离散的信号
因此，我们研究离散时间序列性质

离散时间序列

对比模拟信号建模为函数，对离散信号的建模我们很自然的想到数列，这是一种有序数字集合。

几个特殊的序列

正弦序列

对比连续函数$$x(t)=sin(wt+\varphi )$$
正弦序列用数列通项来表示

\[x(n)=sin(n\Omega_0+\varphi) \]

对比两式子，数字频率和模拟频率出现差别，式子频率\(Omega_0\)也表征了序列的周期性(而非对应连续信号的周期性)

实指数序列

\[x(n)=a^nu(n) \]

这就是我们数学中的指数数列，其敛散性与单调性在高中数学中我们均已经分析,其在差分方程的求解中具有重要作用
notice:其中的u(n)为单位阶跃序列

复指数序列

\[x(n)=e^{(\sigma +j\Omega_0)n } \]

\(\sigma\)表征了序列的幅度变化，\(\Omega_0\)表整理该复正弦序列的幅度变换

周期性

我们来讨论正弦序列的周期性。我们先明确一点:正弦模拟信号的周期不一定是是离散序列的周期，这涉及到等周期采样的问题
我们仅仅来讨论序列的周期性。
周期的原始定义$$x(n)=x(n+N)$$
那么正弦序列就变成了$$\Omega_0N=2\pi k$$
这个式子的意义是

判断是否存在正整数N，k就成了是否存在周期的办法

运算

序列的运算代表了最基本的数字信号处理方式

移位

反褶

序列加减

序列的乘积

差分

用于检测信号的突变点

尺度变换

• 抽取
• 插值

卷积和

类比卷积，卷积和的作用就是表征信号与系统作用的过程

• 图解法
• 列表法
  notice：一般的，两序列长度为\(n_1\),\(n_2\),卷积和的长度为\(n_1+n_2-1\)

离散系统

性质

线性

移不变

• n前面系数为1
• x(n)前系统为常数

因果

稳定

这些性质都可以类比模拟系统来理解

系统的表征

类比模拟系统用单位冲激响应来表征系统，我们用单位样值响应来表征数字系统
我们定义h(n)为单位样值响应
那么

• 因果性

\[h(n)=0,n<0 \]

• 稳定性

\[\sum_{n=-\infty }^{\infty} \left | h(n) \right |=p<\infty \]

系统与信号的作用

在模拟部分我们用微分方程、时域卷积，频域乘积来表征二者相互作用，相应的我们也有办法来表征离散

常系数差分方程

从系统框图里可以看出，线性移不变系统对x(n)做延迟和数乘
因此我们用差分方程来描述这个作用过程
对应解微分方程，解差分方程也有很多方法

经典法

迭代法

用数列的角度看差分方程，那便成了数列递推式，根据递推式求通项，用数学给了一系列方法
迭代法就是其中最简答的代入找规律的方法，小学数学罢了。

z域法

这个我们在z域分析中再讲，这里只是提出
学会解差分方程，我们就能得出单位样值响应，单位样值响应的长度可以将系统分为IIR和FIR系统

单位样值响应表征系统

类比模拟系统

\[y(n)=\sum_{-\infty }^{\infty } x(k)h(n-k)=x(n)*h(n) \]

频域分析

Fourier变换

模拟信号的fourier变换用\(e^{jnwt}\)的积分拟合了原来x(t),相应的，DFT也是由\(e^{jk\Omega n}\)的和来拟合x(n)

周期信号的傅里叶级数

因为原来信号的周期性，所以用来拟合的信号的系数一定也是的周期的，所以周期信号的傅里叶级数一定也是周期的

DTFT

离散时间序列的傅里叶变换（DTFT），要与大名鼎鼎的离散傅里叶变换（DFT）区分

定义

DTFT： $$X(e^{j\Omega } )=\sum_{n=-\infty }^{\infty }x(n) e^{-j\Omega n}$$
IDTFT:$$x(n)=\frac{1}{2\pi } \int_{-\pi}^{\pi } X(e^{j\Omega } ) e^{j\Omega n}d\Omega $$

性质

• 周期
• 线性
• 时移、频移
• 对称性
• 卷积定理
• 帕塞瓦尔定理

z变换

z变换在离散中的地位就是s变换在连续中的地位
定义$$X(z)=\sum_{-\infty }^{\infty } x(n)z^{-n}$$
不知道大家看到这个式子的时候有没有想到幂级数，我们根据幂级数来考虑

https://www.cnblogs.com/loong2525/articles/19170130

收敛圆

从幂级数的角度来分析，那么收敛圆就不难理解了，只有在收敛域内X(z)才成立
我们将序列分类研究其收敛域，对\(0\)和\(\infty\)单独讨论

序列	收敛域
有限长序列	整个z平面
右边序列	圆外
左边序列	圆内
双边序列	圆环

对0和\(\infty\)的判断，就要看X(z)在该处是不是有意义，需要单独讨论。若X(n)都是z的正幂级数，则n在0出收敛而在无穷远出发散；若都是z的负幂级数，则n在无穷远处收敛而在0处发散；若正负幂级数都存在，则n在这两处都发散。

z反变换

说白了就是把X(n)用幂级数展开，求某项的系数就是求序列某个值。
这也是考题出没的位置

长除法

部分分式展开

留数法

z变换的性质

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