模拟系统的频域复频域表征

目录

• 从h(t)开始
• 频率响应函数
  • 顾名思义
• 系统函数
  • 用系统函数求解全响应
  • 零极图
    • 时域特性
    • 系统响应
      • 自由与强迫
      • 暂态与稳态
    • 频域特性
    • 系统的稳定性
      • 劳斯-赫尔维茨判别
  • nyquist曲线
    • 相位裕度与增益裕度

从h(t)开始

在前文

https://www.cnblogs.com/loong2525/articles/19828796

我提到了信号与系统的任务就是为系统建立一个模型，选择一个可以表征系统的量。
在时域的角度，我们找到了两种方式来表征系统

• 通过系统内部限制关系构建微分方程
• 通过输入输出关系得到单位冲激响应h(t)

接下来我们在频域里找找这个表征量

频率响应函数

时域找到h(t),那么自然想到对h(t)做ft，得到的H(jw)。H(jw)似乎可以对应系统的频域特征。
等等，从h(t)推出H(jw),那么从微分方程呢

\[H(jw)=\frac{Y(jw)}{X(jw)} \]

我们把微分方程各项做ft，得到的Y和X之比就是H(jw)。这不是巧合，用卷积定理可以证明。
看来，我们有理由相信H(jw)是一个可以表征系统，且与输入无关的量

顾名思义

频率响应函数的值是一个复数

• 其模表征系统对频率分量的模加权，就是幅频响应
• 其相角表征系统对频率分量的角度加权，就是相频响应
  因此一个模拟系统，既要考虑他的增益，也要考虑他的延时。

系统函数

我们继续延续频域里的思路，将h(t)做lt，得到H(s)。H(s)可以表征系统在s域中的特征
如果接着延续微分方程变为s域的思路，我们发现有一点不同。
如果对微分方程做双面lt，那么我们默认系统初始松弛条件。但事实上很多系统并不是这样的。
时域微分方程做单边lt成s域会引入起始状态，这是我们乐于看到的，这样我们就有机会用H(s)解出全响应

用系统函数求解全响应

这道题还是得夸夸我们学校的，这个例题是很不错的

零极图

我们得到了系统函数，但是一个数学表达式足够简介但是并不够直观，我们需要一种直接反应系统特性的图像。我们来研究系统函数的零点和极点。

时域特性

零点决定相位，极点决定形状

系统响应

这一部分我们从s域中来理解系统响应

自由与强迫

\[Y(s)=H(s)X(s) \]

上式表明，\(Y(s)\)至多同时具有\(H(s)和X(s)\)的极点，我们定义系统函数的极点为\(p_i\),激励信号的极点为\(p_k\)。
那么

\[y(t)=\sum_{n}^{i=1} A_ie^{p_it}u(t)+\sum_{v}^{k=1}A_ke^{p_kt}u(t) \]

我们就将响应分为两部分

• 一部分由系统极点确定，就是自由响应
• 一部分由激励极点确定，就是强迫响应

暂态与稳态

我们从时域特性里知道，极点的位置分布决定其暂态与稳态分布，我们从\(p_i和p_k\)的位置就可以把自由与强迫分解为暂态与稳态

频域特性

\[H(s)=\frac{\prod_{j=1}^{m}(s-z_j) }{\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)} \]

在零级图中找到极矢量与零矢量，通过对二者的模相除得到幅频特性，二者的角相减得到相频特性
由此我们可以得到一种规律：
当特征点靠近虚轴时，对幅度谱和相位谱的影响如表

特征点	幅度	相位
极点	峰值	急剧减小
零点	谷值	急剧增大

在《运算放大器权威指南》中有如下表述

系统的稳定性

之前我们用h(t)的有限可积定义了系统稳定性
我们延续思路用H(jw)定义时发现问题，似乎不稳定系统就无法用H(jw)表征
庆幸的是H(s)弥补了这一点

H(s)极点位置	极点阶数	系统稳定性
左半开平面		稳定
虚轴	一阶	临界稳定
虚轴	二阶及以上	不稳定
右半开平面		不稳定

劳斯-赫尔维茨判别

https://www.bilibili.com/video/BV1sm4y1A71w

nyquist曲线

在自动控制理论中还有这样一种办法表示系统特性，借助这种方法可以判断稳定性，同时同步判断系统对各指标的裕度

https://blog.csdn.net/Yolo_Mick/article/details/134731569
https://www.zhihu.com/tardis/zm/art/140067077

相位裕度与增益裕度

《运算放大器权威指南》

这在模拟滤波器设计中特别有用

至此，我们完成了全部的连续系统分析