信号与系统概述

目录

• 信号概述
  • 分类
  • 典型信号
  • 信号分解方式
  • 信号运算
• 系统概述
  • 系统描述
  • 系统性质
    • 线性
    • 时变
    • 因果
    • 稳定
  • 系统表征
    • 线性常系数微分方程
      • 框图
    • 奇异函数
    • 用h(t)表述系统性质
      • 线性时不变
      • 因果性
      • 稳定性
      • 记忆性
      • 可逆系统
      • 无失真
• 信号作用于系统
  • 利用LTI性质求解响应
  • 双零法求系统响应
  • 卷积法求系统响应
• 声明

初学信号与系统，对知识脉络做个整理和总结。我感觉信号与系统这门课的任务就是数学建模，构建信号、系统模型，是DSP的前置任务

信号概述

这个部分的任务是建立一个数学模型来表述信号，事实上模型很简单：函数

分类

• 连续&离散
• 周期&非周期
• 能量&功率&普通

典型信号

见简单复变函数

信号分解方式

将信号分解可以让我们更好的看到信号的一些特性以及信号与系统作用效果。

• 正交
• 冲激
• 奇信号+偶信号
• 复指数

信号运算

数学上建立系统对信号的作用模型

• 尺度变换
• 时移
• 卷积

系统概述

那么数学上怎么由一个函数到另一个函数呢：算子。
我们建模系统的过程就是找到一个可以表示系统作用的算子。

系统描述

在实际信号系统中，我们常用输入输出描述系统
所有的相同输入信号输入系统，都有相同的输出，则可以判断为相同系统。
notice: 相同输入 + 相同系统 = 相同输出，however，相同输出 + 相同系统 != 相同输入。这是一个推理误区，这涉及到系统的可逆性。

系统性质

线性

输出y(t)只由输入x(t)的齐次，比例，积分，微分等线性运算决定
notice: 线性是对x(t),而非对t，如下例

时变

时不变系统的含义是，若输入信号进行时移，则系统仅仅对输出信号做时域平移，不会对信号产生尺度变换和时变增益

因果

输出y(t)决定于现在\(t\)和过去\(t-t_0\)的输入

稳定

输出的收敛表明系统的稳定

系统表征

怎么用数学来表征一个系统呢
从输入输出的表述法来看，只要构建输入输出的函数，一个x(t)对应一个y(t),这就是方程的表征

线性常系数微分方程

• 一个微分方程是一个约束关系，要确定一个信号的输入输出过程还需要附加条件。
• 解微分方程的过程就是得出\(特解y_p(t)\)和齐次解\(y_h(t)\),这就是系统响应的受迫响应和自由响应
  这种方式是已知系统内部结构，可以根据电路定理列些输入输出等式从而建立方程的关系。

框图

框图是微分方程的图形，微分方程与框图可以进行互换

• 积分器
• 倍乘器
• 求和器

https://www.bilibili.com/video/BV1644y137As

notice： 一个求和器就是一个微分方程，至于多个微分方程怎么处理，下面这个up主从系统的角度讲的很好

https://www.bilibili.com/video/BV1KJ4m1N7uB

当系统特别庞大，不知道系统内部结构，无法列写出微分方程，那么仅仅通过输入输出信号来表征系统呢
这就需要一个特别的信号\(\delta(t)\),由此引出奇异信号。

奇异函数

首先我们从信号的分解讲起。前面讲到，连续信号可以分解为冲激的卷积

\[x(t)=\int_{-\infty }^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=x(t)*\delta(t) \]

那么这就给我们一种启发：输出信号就可以看作是每一个冲激信号的作用的线性叠加，在连续信号里叠加用求积分实现。这可能有点拗口，变成公式就是

\[y(t)=\int_{-\infty }^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau=x(t)*h(t) \]

举个栗子：x(t)可以分解为由\(\delta(t_0)\)和\(\delta(t_1)\)，通过系统变成了\(a\delta(t_0)\)和\(b\delta(t_1)\)，那么这个a，b就是系统对信号的作用，就是h(t),只不过这个作用不是简单的乘法，而是卷积，这一点如果换到频域里会更清晰。
这样，h(t)就可以用来表征系统对x(t)的作用了，也就是h(t)代表了这个系统

用h(t)表述系统性质

线性时不变

h(t)的存在本身就说明该系统为LTI系统

因果性

\[h(t)=0,∀t<0 \]

稳定性

\[​\int_{-\infty }^{\infty}∣h(τ)∣dτ<∞ \]

记忆性

\[\text{无记忆系统} \iff h(t) = K\delta(t),\ K\in\mathbb{R} \]

可逆系统

\[\text{可逆系统} \iff \exists\ h_{\text{inv}}(t),\ \text{ s.t. }\ h(t) * h_{\text{inv}}(t) = \delta(t) \]

无失真

\[\text{无失真传输系统} \iff h(t) = K\delta(t-t_0) \]

信号作用于系统

前面我们表征了系统，现在我们想知道x(t)输入系统h(t),会有怎样的输出，换一个说法，我们来研究系统的响应

利用LTI性质求解响应

将响应分解为零状态响应\(y_{zs}\)与零输入响应\(y_{zi}\)，求解两个响应，
根据线性特性，求解新的响应

• 零输入响应解为齐次解的形式，但是并非齐次解，而是齐次解中由初始条件决定的那一部分
• 零状态响应为特解+齐次解的形式，是由系统决定的响应

双零法求系统响应

https://www.bilibili.com/video/BV1tt4y147Kt

卷积法求系统响应

声明

系统部分图片取自于
https://www.bilibili.com/video/BV1TZ4y1P7tK
老师讲的很好