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一、奇异值分解(SVD)原理
1.1 回顾特征值和特征向量
我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下:
其中A是一个n×n的实对称矩阵,x是一个n维向量,则我们说λ是矩阵A的一个特征值,而x是矩阵A的特征值λ所对应的特征向量。
求出特征值和特征向量有什么好处呢? 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值\(λ_1≤λ_2≤...≤λ_n\),以及这n个特征值所对应的特征向量\(w_1,w_2,...,w_n\),如果这n个特征向量线性无关,那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示:
其中W是这n个特征向量所张成的n×n维矩阵,而Σ为这n个特征值为主对角线的n×n维矩阵。一般我们会把W的这n个特征向量标准化,即满足\(||w_i||_2=1\), 或者说\(w^T_iw_i=1\),此时W的n个特征向量为标准正交基,满足\(W^TW=I\),即\(W^T=W^{−1}\), 也就是说W为酉矩阵。
这样我们的特征分解表达式可以写成
特征值和特征向量的求解可以参考:https://jingyan.baidu.com/article/27fa7326afb4c146f8271ff3.html
注意到要进行特征分解,矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵,即行和列不相同时,我们还可以对矩阵进行分解吗?答案是可以,此时我们的SVD登场了。
1.2 SVD的定义
SVD也是对矩阵进行分解,但是和特征分解不同,SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵,那么我们定义矩阵A的SVD为:
其中U是一个m×m的矩阵,Σ是一个m×n的矩阵,除了主对角线上的元素以外全为0,主对角线上的每个元素都称为奇异值,V是一个n×n的矩阵。U和V都是酉矩阵,即满足\(U^TU=I,V^TV=I\)。下图可以很形象的看出上面SVD的定义:
1.3 求出SVD分解后的U,Σ,V矩阵
如果我们将A的转置和A做矩阵乘法,那么会得到n×n的一个方阵\(A^TA\)。既然\(A^TA\)是方阵,那么我们就可以进行特征分解,得到的特征值和特征向量满足下式:
这样我们就可以得到矩阵\(A^TA\)的n个特征值和对应的n个特征向量v了。将\(A^TA\)的所有特征向量张成一个n×n的矩阵V,就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。
如果我们将A和A的转置做矩阵乘法,那么会得到m×m的一个方阵\(AA^T\)。既然\(AA^T\)是方阵,那么我们就可以进行特征分解,得到的特征值和特征向量满足下式:
这样我们就可以得到矩阵\(AA^T\)的m个特征值和对应的m个特征向量u了。将\(AA^T\)的所有特征向量张成一个m×m的矩阵U,就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。
U和V我们都求出来了,现在就剩下奇异值矩阵Σ没有求出了。由于Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0,那我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。
我们注意到:
这样我们可以求出我们的每个奇异值,进而求出奇异值矩阵Σ。
上面还有一个问题没有讲,就是我们说\(A^TA\)的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵,而\(AA^T\)的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵,这有什么根据吗?这个其实很容易证明,我们以V矩阵的证明为例。
上式证明使用了:\(U^TU=I,Σ^TΣ=Σ^2\)。
可以看出\(A^TA\)的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到\(AA^T\)的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。
进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方,也就是说特征值和奇异值满足如下关系:
这样也就是说,我们可以不用\(\sigma_{i}=A v_{i} / u_{i}=\sqrt{\lambda_{i}}\)来计算奇异值,也可以通过求出\(A^TA\)的特征值取平方根来求奇异值。
1.4 SVD计算举例
这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为:
我们首先求出\(A^TA\)和\(AA^T\)
进而求出\(A^TA\)的特征值和特征向量:
接着求\(AA^T\)的特征值和特征向量:
利用\(Av_i=σ_iu_i,i=1,2\)求奇异值:
当然,我们也可以用$$\sigma_{i}=\sqrt{\lambda_{i}}$$直接求出奇异值为\(\sqrt{3}\)和1.
最终得到A的奇异值分解为:
1.5 SVD的一些性质
上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述,似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢?
对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似,在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列,而且奇异值的减少特别的快,在很多情况下,前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说,我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说:
其中k要比n小很多,也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵\(U_{m×k},Σ_{k×k},V^T_{k×n}\)
来表示。
如下图所示,现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。
由于这个重要的性质,SVD可以用于PCA降维,来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法,将用户和喜好对应的矩阵做特征分解,进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法,比如潜在语义索引(LSI)。
1.6 SVD用于PCA
PCA降维,需要找到样本协方差矩阵\(X^TX\)的最大的d个特征向量,然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出,在这个过程中需要先求出协方差矩阵\(X^TX\),当样本数多样本特征数也多的时候,这个计算量是很大的。
注意到协方差矩阵\(X^TX\)最大的d个特征向量张成的矩阵和SVD中的V矩阵是一样的,但是SVD有个好处,有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵 \(X^TX\),也能求出我们的右奇异矩阵V。也就是说,我们的PCA算法可以不用做特征分解,而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上,scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD,而不是我们我们认为的暴力特征分解。
另一方面,注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵,没有使用左奇异矩阵,那么左奇异矩阵有什么用呢?
假设我们的样本是m×n的矩阵X,如果我们通过SVD找到了矩阵\(XX^T\)最大的d个特征向量张成的m×d维矩阵U,则我们如果进行如下处理:
\(X'_{d\times n}=U^T_{d\times m}X_{m\times n}\)
可以得到一个d×n的矩阵X‘,这个矩阵和我们原来的m×n维样本矩阵X相比,行数从m减到了k,可见对行数进行了压缩。
左奇异矩阵可以用于行数的压缩。
右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩,也就是我们的PCA降维。
二、线性最小二乘问题
2.1 最小二乘问题复习
m个方程求解n个未知数,有三种情况:
- m=n且A为非奇异,则有唯一解,\(x=A^{-1}b\)
- m>n,约束的个数大于未知数的个数,称为超定问题(overdetermined)
- m<n,负定/欠定问题(underdetermined)
通常我们遇到的都是超定问题,此时Ax=b的解是不存在的,从而转向解最小二乘问题:
J(x)为凸函数,我们令一阶导数为0,得到:\(A^{T} A x-A^{T} b=0\),称之为正规方程一般解:
2.2 广义逆矩阵
2.2 奇异值分解与线性最小二乘问题
因为矩阵的逆很难求解,因此用SVD分解A矩阵的广义逆
对于m×n的矩阵A,其奇异值分解如下:
根据奇异值分解,可以通过下面的计算得到广义逆:
\(A^+=(UΣV^T)^+=(ΣV^T)^+U^{−1}=VΣ^+U^T\)
其中,Σ因为是对角阵,所以广义逆就是他所有元素的倒数。可以看到这样子求解逆就十分容易了
三、SVD分解求解超定方程Ax=0(比二更简便的结论)
$Ax = 0 $ 对A做SVD分解,得\(U\Sigma V^Tx =0\)
因为是超定方程,一般无法等于0,问题转换为求最小值 =\(||U\Sigma V^Tx||_{min}\)
因为\(U\)是一个正交矩阵:正交变换不改变矩阵的秩, 特征值, 行列式, 迹
所以有:
即Ax=0的SVD解是V的最后一列
参考链接
https://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html
https://zhuanlan.zhihu.com/p/131097680
https://blog.csdn.net/weixin_42587961/article/details/97374248
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