tricks

包括但不限于 trick，还有一些思考方向之类的东西。

---

数据结构

线段树

• 线段树分治：在一条长度为 \(n\) 时间轴上有 \(m\) 次操作，每个操作生效的时间区间给定为 \([l_i , r_i]\)。对于 \(q\) 次询问，每次询问一个点，求在这个点生效的所有操作的贡献之和。
  • CF1140F 题 解 解 祭

根号

• 1e6 以下不会 log 可以考虑根号。当 根号跑不满 / 常数较小 / 时限较为宽松 的时候还是有机会的。
  • MX 炼石 2025 NOIP #5 T2 题 解 祭
  • 洛谷 P3203 题 解

杂项

• 笛卡尔树可以做到 \(O(n)\) 预处理，在最值分治中 \(O(1)\) 求每个分治区间的最值。
  • MX 练石 2025 NOIP #4 T1 题 解 祭

---

数学

概率期望

• 考虑期望是否可以转化为 合法方案数 / 总方案数，此时需要每个方案出现的概率相同（若不同可以考虑转化为相同的），且计数是比较容易的。

  • MX 炼石 2025 NOIP #5 T1 题 解 祭

• 从 \(X\) 状态第一次走到 \(Y\) 状态的期望时间，可以转化为从 \(X\) 出发到 \(Y\) 和从 \(Y\) 出发到 \(Y\) 两部分拼起来。这也是 PGF 的经典结论，不过并不仅可以用于 PGF。

  • CF1349D 题 解 祭
  • AT_arc136_f（PGF 例题，但我并不会）题 解

组合计数

• 这启示我们在数学类 dp 优化不了，且组合意义不会的时候，要改改状态尽量把 dp 转移式写得简单点，然后瞪眼找通项，虽然能找到的概率不大。

  • MX 炼石 2025 NOIP #5 T1 题 解 祭

• 在看到例如「都不是 / 是」的词时，可以看作恰好 \(0\) 个不是，然后用反演做。

  • AT_arc121_e 题 解 祭

博弈论

• 零和博弈（即双方得分总和固定的博弈）常用的 dp 方式是把先手与后手的分数差放到状态里或者令为状态的值。
  • 洛谷 P9156 题 解 祭

---

图论

树上问题

• 若问题与树的直径有关，例如支持对可变的树的直径的某种操作，可以考虑树的重心。
  • MX 炼石 2025 NOIP #9 T3 题 解 祭

---

杂项

• 在求类似于 \(\sum _{l,r} f(l,r)\) 的时候，如果数据范围允许，可以考虑分治。

  • MX 炼石 2025 NOIP #2 T4 题 解 祭

• 当不关心一个数组的具体值，只关心它是否能与另一个数组匹配，或者只关心它的出现次数，可以考虑把这个数组哈希掉（若时间复杂度允许）。

  • CF1418G 题 解 解 祭

• 有时候，可行性问题不能做可以考虑转化为最优性问题。

  • CF1476F 题 解 解

• 当需要维护最大值，并且支持状态的转移的时候，若不一定能通过最大值直接转移（例如换根 dp 中以 \(v\) 为根的子树 max 信息 不能直接从 \(u\) 的子树 max 转移，因为可能出现 \(u\) 的子树 max 是 \(v\) 的情况），可以同时维护不在同一组被的次大值。

  • AT_arc179_d 题 解 祭
  • AT_keyence2019_e 题 解 祭
  • ZR 2025 二十联测 Day 6 B 题 解 祭

• 在序列上的问题中，有时候可以考虑把序列按照 \(n,1,n-1,2,n-3,\ldots\) 的顺序排列，有时候会有意想不到的作用（类似于 \(a_i \gets a_i-i\)）。

  • ZR 2025 二十联测 Day 6 C 题 解 祭

• 当要算某个东西 \({} \bmod p\) 的结果，复杂度和 \(p\) 有关，且 \(p\) 可以分解成 \(\prod p_i\) 满足 \(p_i\) 较小且两两互质时，可以考虑先分解，分别求出来答案，再用 CRT 合并。

  • 2024 暑期模拟赛 #10 D 题 解 祭

• 当一个东西（例如神必构造）当范围很小的时候可以手算，看看范围大的时候是否可以通过某种手段转化到范围小的情况。

  • CF1333E 题 解

• 对于括号匹配相关问题，或者只有 \(-1,1\) 两种数的数组，可以考虑把前缀和画到折线图上考虑。然后还要注意括号序列的一大堆结论。

  • 洛谷 P12547 题 解