ZR 2025 NOIP 二十连测 Day 6

啊啊啊第一次上 200 /oh

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25noip二十连测day6

链接：link
题解：题目内

时间：4.5h (2025.10.21 13:40~18:10)
题目数：4
难度：

A	B	C	D
\(\color{#F39C11} 橙\)	\(\color{#52C41A} 绿\)	\(\color{#3498DB} 蓝\)	\(\color{#BFBFBF} ?\)
*1200	*1900	*2100	*?

估分：100 + 72 + 35 + ? = 207 + ?
得分：100 + 72 + 35 + 0 = 207
Rank：61/131

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场祭

读题。

开 A，发现似乎很简单，注意到答案一定形如 11110000101010 的形式，就做完了，直接枚举即可。

先不写了，应该是很好写的，继续开 B，显然是 dp，但是发现无论怎么样都逃脱不了要记录两个 \(O(n)\) 或 \(O(V)\) 的状态，于是放弃思考，去进行一个部分分的想，随便搞搞写出来了一个 \(O(nV^2)\) 的 dp，非常优秀，足足有 72pts。

写写写，过样例了。

10min 把 A 写了。

甚至只过了不到 2h。所以有足够的时间去打 CD 的暴力和特殊性质了。

然后发现似乎只会暴力，D 甚至不知道暴力对不对，所以先把 C 的暴力打了。然后继续研究 C，发现可以转化成把所有满足 \(a_i + a_j \ge d\) 的 \((i,j)\) 连边，得到一个图，求删掉最少条边使图成为一个二分图，或者说在二分图左右两边中间保留尽可能的多的边。这样似乎 \(d \le 3\) 就可以做了，可以发现实际上只有 \(0,1,2,3\) 这 \(4\) 种不同的点，然后 \(3\) 一定会产生贡献，所以把 \(1,2\) 分到两边一定是最优的，而 \(0\) 显然放在 \(3\) 少的那一边更优。

注意到是 \(d \le 3\) 而不是 \(d = 3\)，所以还需要把 \(d = 0,1,2,3\) 都分讨一遍 /tuu，不过还好，因为 \(1,2\) 都可以直接枚举，毕竟 \(n \le 1000\) 嘛。然后写到 \(3\) 的时候发现过不去样例，于是不想了直接枚举去了，算了下 \(5000 / 1000 \times 333^3 \approx 1.8 \times 10^8\)，常数不大 1s 挺能过的，写了之后对着暴力拍出来几个 corner case 就过大样例了。

D 直接爆搜，过掉了 3 个样例，应该能有一些分。

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补题

哦 D 看来数据比较强，都 T 飞了呢。

补 B，好吧是注意力题。有一个朴素的 dp 就是令 \(f_{i,j}\) 为最后一个为 \(a_i\)，倒数第二个为 \(a_j\) 的答案，然后发现转移的时候只需要考虑新的 \(a_k\) 与 \(a_j\) 是否相等，所以只需要记录最大值和次大值即可，这样就变成了 \(O(n)\) 的状态和单次 \(O(n)\) 的转移。

状态显然已经做到最优了，只考虑优化转移。根据人类直觉，我们并不会从太远的地方转移，具体地，可以发现如果我们选了一段形如 XXabcdeXX 的序列（X 表示任意已选数字，abcde 分别为不同的未选数字），那么至少能在 abcde 中再选一个，一定会更优，因为只需要保证选择的数和每个 X 都不同就可以了，所以这样一定是合法的。

所以，对于 \(f_i\) 我们只需要从前面 \(5\) 个 \(a_j \ne a_i\) 且 \(a_j\) 互不相等的位置转移，并且所用的 \(a_j\) 都是在 \(1 \sim i-1\) 中最后一次出现。于是转移就是 \(O(1)\) 的了。

补 C，trick++！

考虑让我们难办的东西到底是什么，实际上就是无法确定哪些点之间该有连边，哪些点没有。所以能不能构造一种方式，使得连边变得好确定？

首先有一点观察：如果按照 \(\lceil d/2 \rceil\) 来把所有数划分为大点和小点，那么大点之间一定两两连边，小点之间一定没有连边。

trick：考虑按照这样的顺序排列：\(d,0,d-1,1,d-2,\ldots\)，然后惊奇地发现，每个大点只会与之前的大点连边，每个小点也只会与之前的大点连边！

所以直接 dp 就可以了，令 \(f_{i,j}\) 为前 \(i\) 个数，放在第一组的大点有 \(j\) 个的最小同组边以及方案数，转移是平凡的，考虑大点还是小点、放在哪一组即可。

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天依宝宝可爱！