ABC312Ex 题解

blog。这玩意有空心橙？？？？写篇题解祭一下速杀 *2400（

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什么时候，两个串可能会冲突？答案是他们有公共最小循环节。于是用 KMP 求出每个串的最小循环节。

存在一个暴力：将所有最小循环节相同的串放到一起 query，对于一个循环节长度为 \(r\) 的串，遍历 \(r,2r,3r,\cdots,x\cdot r\) 直到 \(x\cdot r\) 没有被使用过，答案即为 \(x\)。这样显然是平方的。

考虑对原串完全相同的串记忆化。即：若有 \(S_1=S_2\) 且 \(S_1\) 的答案为 \(x\)，处理 \(S_2\) 时直接从 \((x+1)\) 开始枚举。

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正确性显然，复杂度呢？下文记 \(S=\sum|s_i|\)。

注意到原问题维护了 \(O(n)\) 个集合，显然它弱于 \(1\) 个集合的问题：

Problem：维护集合，每次 find 最小的、不在集合内的、能够整除 \(r\) 的数，并把它 insert 进集合。

一个潜在条件是 \(\sum r\le S\)。并且容易证明，集合最大数不会超过 \(\sum r\)。

对相同的 \(r\) 记忆化后，一个 \(r\) 最多只会遍历 \(O(\dfrac Sr)\) 次，于是总复杂度 \(O(\sum\limits_{r=1}^S \dfrac Sr)=O(S\log S)\)。

code，时间复杂度 \(O(S\log^2S)\)。另一篇题解使用了 hash-table 做到了 \(O(S\log S)\)。