ARC137C 题解

blog。很牛的题，想了差不多一个小时。

经典结论

此处 \(S\to T\) 表示状态 \(S\) 可以变成状态 \(T\)。

\(\textbf{Conclusion: }\) 若 \(\forall S\to T\to P\) 都有 \(S\to P\)，则 \(S\) 为必胜态。（用中文讲：一个状态能到达它所能到达的状态所能到达的状态，则这个状态为必胜态。）

\(\textbf{Prove: }\) 若 \(T\) 为必败态，则 \(S\) 为必胜态。若 \(T\) 为必胜态，则必定 \(\exists P\) 是必败态，\(\because S\to P\)，\(\therefore S\) 是必胜态（它能到达一个必败态）。

思路

考虑最大值 \(p\) 与次大值 \(q\)。先手操作 \(p\)，只要操作后仍然有 \(p>q\)，由「经典结论」，先手必胜。所以 \(q+1<p\) 时先手必胜。

另一种情况是 \(q+1=p\)，由「\(q+1<p\) 时先手必胜」这个结论，双方每次操作后必定是保持 \(q+1=p\)，所以只会将 \(p\) 移动到下一个间隔处。

那么这种情况下，间隔数奇偶性决定了先后手谁必胜。做完了。

code，时间复杂度瓶颈在排序。