博弈论

博弈论学习目录

本文用于整理 ACM 博弈论相关知识点与题目，方便自己和队友查阅。
持续更新中……

一、基础概念

• 必胜态（N）与必败态（P）
• 博弈图与 DAG 模型

二、经典博弈模型

1. 巴什博弈（Bash Game）

• 模型：1 堆石子，共 n 个，每次从这堆中取 1 ~ m 个
• 结论：n % (m+1) != 0 先手必胜，n % (m+1) == 0 后手必胜

2. 尼姆博弈（Nim Game）

• 模型：n 堆石子，每次从一堆取任意多枚
• 结论：异或和 != 0 先手必胜，== 0 后手必胜

3. 威佐夫博弈（Wythoff Game）

• 模型：两堆石子，可从一堆取任意多枚，或从两堆取相同数量
• 结论：b == floor((a-b) * (1+√5)/2) 时先手必败

4. 斐波那契博弈（Fibonacci Game）

• 模型：先手第一次任取，之后每次最多取上次的 2 倍
• 结论：n 是斐波那契数时先手必须一次取完，否则取 Zeckendorf 分解的最小项

三、SG 函数与公平组合游戏

• SG 函数（Sprague-Grundy）定义
• mex 运算
• SG 定理：游戏和的 SG 值等于各子游戏 SG 值的异或和
• 用 SG 函数解决 Nim 及变种问题
• 打表找规律的方法

四、常见变种与技巧

• 反尼姆博弈（Anti-Nim）
• 阶梯尼姆（Staircase Nim）
• 多堆巴什博弈
• 取石子游戏的合并与拆分
• 博弈中的对称策略
• 奇偶性分析

五、进阶内容（可选）

• 树上博弈
• 二分图博弈
• 博弈与 DP 结合
• 博弈与组合数学
• 不平等博弈（Surreal Number 初步）

六、题目整理

综合题

• 待补充

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更新记录

日期	内容
2026-09-20	创建博弈论目录