威佐夫博弈（Wythoff Game）

威佐夫博弈（Wythoff Game）

一、问题模型

有两堆石子，数量任意，可以不同。两人轮流取石子，每次有两种取法：

1. 从任意一堆中取走任意多枚石子
2. 从两堆中同时取走相同数量的石子

取走最后一枚石子的人获胜。问先手是否必胜？

对应题目：洛谷 P2252 取石子游戏

二、结论

设两堆石子数量为 a, b，且 a >= b，令 d = a - b。

记黄金分割比 φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.618。

• 如果 b == floor(φ * d)，先手必败（输出 0）
• 否则先手必胜（输出 1）

三、为什么是这个结论

威佐夫博弈的必败态（奇异局势）有一个规律：

第 k 个必败态为：

( floor(k * φ), floor(k * φ) + k )

也就是说，必败态的两堆差值 d = k，较小的一堆恰好等于 floor(k * φ)。

反过来，给定任意局面 (a, b)（a >= b），只要判断：

b == floor( (a - b) * φ )

成立就是必败态，否则是必胜态。

四、AC 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int main()
{
    ll a, b;
    cin >> a >> b;
    if (a < b) swap(a, b);

    long double t = (1 + sqrt(5.0L)) / 2; //题目对精度有要求，double精度不够
    ll tt = t * (a - b);

    if (b != tt) cout << 1 << '\n';
    else cout << 0 << '\n';

    return 0;
}

五、易错点

• 必须先保证 a >= b，否则差值 d 会是负数，判断出错
• 黄金分割比要用浮点精度较高的类型（如 long double），否则 a, b 接近 10^9 时会因为精度问题判断错误
• 题目输出要求是 1 / 0 / -1，本题保证有确定结果，所以只输出 1 或 0

六、总结

威佐夫博弈的核心就是判断当前局面是不是奇异局势：

b == floor( (a - b) * (1 + √5) / 2 )

是则先手必败，否则先手必胜。