棋盘博弈

Mandy 和 brz 的棋盘游戏

一、题目描述

在一个 2 × n 的棋盘上，每个格子有一个分数 a[i][j]。

Mandy 的棋子从左上角 (1, 1) 出发
brz 的棋子从右下角 (2, n) 出发
两人轮流操作，Mandy 先手
每次操作可以把自己的棋子移到相邻格子（上下左右），或者不动
移动的目标格子必须有分数，不能移动或不动则跳过
移动后，目标格子的分数被该玩家获得，格子分数消失
双方都无法移动时游戏结束，总分高者获胜，平局输出 draw

双方都采用最优策略，问最终胜负。

对应题目：CCPC 2025 河北省赛 A.棋盘

二、思路分析

观察棋盘结构

棋盘只有两行，Mandy 从左上角出发，brz 从右下角出发。

两人最终相遇的位置只可能在中间区域，所以可以按「中间分割线」把棋盘分成左右两部分。

关键观察

设 mid = n / 2，那么：

Mandy 从左边开始，一定会先吃掉左半部分的分数
brz 从右边开始，会吃掉右半部分的分数
最终的分界线在中间附近

双方的得分

Mandy 的得分有两种可能：

完全占领左半部分（第 1 行和第 2 行的前 mid 列）：
```
Mandy = pre[0][mid] + pre[1][mid]
```
如果 Mandy 继续向右推进，则可能拿到：
- 第 1 行全部（pre[0][n]）
- 或者第 2 行前 mid + 1 列 + 第 1 行前 mid + 1 列
取两者较小值（因为 brz 也会抢）：
```
min(pre[0][n], pre[1][mid + 1] + pre[0][mid + 1])
```

Mandy 最终得分：两种情况取较大值：

num = max(min(pre[0][n], pre[1][mid + 1] + pre[0][mid + 1]), num);

比较总分

总分为：

total = pre[0][n] + pre[1][n]

若 num * 2 > total → Mandy 胜
若 num * 2 == total → 平局
若 num * 2 < total → brz 胜

三、算法流程

读入 n 和两行分数
分别对两行求前缀和
计算 mid = n / 2
计算 Mandy 的得分 num
与总分比较，输出结果

四、AC 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e5 + 5;

ll arr[2][N];
ll pre[2][N];

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        int n;
        cin >> n;

        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            cin >> arr[0][i];
            pre[0][i] = pre[0][i - 1] + arr[0][i];
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            cin >> arr[1][i];
            pre[1][i] = pre[1][i - 1] + arr[1][i];
        }

        int mid = n >> 1;
        ll num = pre[0][mid] + pre[1][mid];
        num = max(min(pre[0][n], pre[1][mid + 1] + pre[0][mid + 1]), num);

        if (num * 2 > pre[0][n] + pre[1][n]) cout << "Mandy" << endl;
        else if (num * 2 == pre[0][n] + pre[1][n]) cout << "draw" << endl;
        else cout << "brz" << endl;
    }
    return 0;
}

五、代码说明

1. 前缀和

pre[0][i] = pre[0][i - 1] + arr[0][i];
pre[1][i] = pre[1][i - 1] + arr[1][i];

用前缀和可以 O(1) 求出任意区间和。

2. 中间分界

int mid = n >> 1;

取 n / 2 作为中间位置。

3. Mandy 的得分

ll num = pre[0][mid] + pre[1][mid];
num = max(min(pre[0][n], pre[1][mid + 1] + pre[0][mid + 1]), num);

第一种：Mandy 吃掉前 mid 列的所有分数
第二种：Mandy 尽量向右抢，但要考虑 brz 的阻挡，取较小值
两种情况取最大，就是 Mandy 的最优得分

4. 胜负判断

if (num * 2 > pre[0][n] + pre[1][n]) cout << "Mandy" << endl;
else if (num * 2 == pre[0][n] + pre[1][n]) cout << "draw" << endl;
else cout << "brz" << endl;

用 num * 2 和总分比较，避免浮点误差
大于总分 → Mandy 胜
等于总分 → 平局
小于总分 → brz 胜

六、错误代码分析

if (n % 2 == 0)
{
    ll num = pre[0][mid] + pre[1][mid];
    if (n == 2) num = max(num, pre[0][2]);
    if (num * 2 > pre[0][n] + pre[1][n]) cout << "Mandy" << endl;
    else if (num * 2 == pre[0][n] + pre[1][n]) cout << "draw" << endl;
    else cout << "brz" << endl;
}

反例

1	2	mid	mid+1	mid+2	n
1	100	100	30	1000	1
1	2	1	13	4	1

解释：以 (n) 为偶数为例，一开始两人的最优策略都一定是向中间推进。

先手到 arr[0][mid]，后手到 arr[1][mid + 2]

此时后手有两种选择：

选择 1：往左走一步

后手走到 arr[1][mid + 1]，轮到先手。

先手有两种走法：

往右走：走到 arr[0][mid + 1]，之后走完第一行。（被后手限制）
往下走：走到 arr[1][mid]，走 pre[0][mid] 和 pre[1][mid] （不管咋样，这种都能走到）

选择 2：往上走一步

后手走到 arr[0][mid]，轮到先手。

先手最优走法：走完 pre[0][mid + 1]，即 pre[0][mid + 1] + pre[1][mid + 1]。（被后手限制）

后手会选择最优于自己不利于先手的方案，此时先手在1, 3中只能选择小的那个

七、总结

要点	内容
核心思想	棋盘中间分界，Mandy 取左半部分，考虑向右推进的可能
数据结构	前缀和
关键公式	`num = max(pre[0][mid] + pre[1][mid], min(pre[0][n], pre[1][mid+1] + pre[0][mid+1]))`
判断	`num * 2` 与总分比较

posted @ 2026-09-26 12:07 leaderling 阅读(2) 评论(0) 收藏举报

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